blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 41
Текст из файла (страница 41)
гл. 5), и независимо от значения Х необходимо исследовать только две соответствующие скорости ре- где ук — скорость релаксации всех компонент теизора ранга К. Соотношение (7.5.7) означает, что величина ук действительна: ук ук* (7.5.9а) можно показать, что ук) О. (7.5.9б) 219 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКГАШгн 2!3 ГЛАВА Т лаксацнн уг и уг. Такая ситуация существует в большинстве экспериментов с оптической накачкой. В некоторых случаях процесс релаксации не изотропен, но аксиально-симметричен по отношению к некоторой выделенной оси, как, например, прп наличии внешнего поля. С такой ситуацией мы сталкиваемся в экспериментах по магнитному резонансу. Когда высокочастотное поле выключается, релаксация атомов происходит в присутствии статического лгагггптного поля, вследствие чего энергия магнитных состояний оказывается различной.
В гл. 4 показано, что мультиполи состояния с компонентами Я сохраняются в случае аксиально-снмметричного взаимодействия. Тогда уравнение (7.5.5) принимает впд с((Т(У, !)кд)/гУ! = 2, )7ко,, О,(Т(У, !)„.,О). (7.5.!2) к' Это уравнение показывает, что компоненты тензоров разных рангов с одним и тем же О перемешиваются в процессе ре. лаксации. В частности, параметры ориентации и выстроенности с одним и тем же значением (У могут комбинироваться друг с другом.
Формализм мультиполей состояния представляет значительный интерес для описания релаксации в атомной и ядерной физике. Более подробное изложение и применение этого формализма к разным конкретным случаям читатель может найти, например, в обзорах Омонта (Ощоп(, 1977) и Бейлиса (Вау!1з, 1979) п в цитированных там работах. 7.6. Лиувиллиевский формализм В настоящем разделе мы опишем математический метод, особенно полезный в неравновесной квантовой статистике. Этот метод связан с представлением Лиувилля для матриц плотности.
Элементами гильбертова пространства являются векторы состояния [ф). Рассмотрим теперь совокупность линейных операторов А, В, ..., действующих на состояния [г[г). Любая линейная комбинация линейных операторов есть также линейный оператор. Поэтому множество линейных операторов образует другое линейное пространство, которое называется пространством Лиувилля, если внутреннее произведение в пем определено соотношением (Л !В) =1г Л В. (7.6.1) Мы будем использовать обозначения [А), [В), ..., чтобы подчеркнуть, что эти операторы рассматриваются как элементы пространства Лиувнлля. Рассмотрим набор базисных векторов [т'), [т) ... в гильбертовом пространстве.
Тогда базис в пространстве Лвувилля образуется набором операторов [т')(пг), которые получаготся путем комбинации всех элементов набора [пг). Следуя работе Габриэля (ОаЬГ!е!, 1969) н используя «дпраковскпе» обозначения !т'и) для [и')(т[ н (т'т[ для [т)(т'[, а также определение (7.6.1), найдем соотношение ортогональности (ит!п'п) =1г()т)(гп'!п)(п !) = б„г„б „(76.2) и соотношение полноты [т'и)(т'и [= 1, (7.6.3) где 1 есть единичный оператор в пространстве Лиувилля.
Отсюда следует соотношение (и'т ! А) = 1г [ [т)(пг' ~ А[ = (гп' ! А [ т), (764) и полным: Е [Т(УУ)ка)(Т(УУ) 1= 1. г гко (7.6.6) Действуя оператором (7.6.6) на матрицу плотности, рассматриваемую как вектор [р) в пространстве Лиувилля, получаем разложение ! р) = У' [ Т (У У)ка) (Т (У У)ко ! р) (7.6.7) г'гко Мультпполп состояния тогда можно рассматривать как внутренние произведения (Т (У У)к ) = (Т (У У)к [ р) (7.6.8) которые А!ох!но записать в обычной форме (4.3.5), используя определение (7.6.1). Выражения (7.6.7) и (7.6.8) соответстВуют разложению (4.3.4).
т. е. внутреннее пронзведеняе любого лпувпллевского вектора А с базисным вектором [т'т) равно обычному матричному элементу (т'!А !т) = А ° оператора А в гпльбертовом пространстве. Если свойства угловой симметрии рассматриваемой системы играют важную роль, то удобно в качестве базисных векторов использовать элементы [Т(ЛУ)ха). Такой набор является ортонормированным согласно (4.2.24): [Т (УУ)„,, [ Т (УУ), ) = 1г! Т (У'У)ко, Т (УУ) .О) = = блгбк'ко'гг (7.6.5) ГЛАВА 7 КВАНТОВАЯ ТВОРИЯ РГЛАКСАЦПИ 221 Чтобы производить вычисления, используя пространство Лнувнлля, необходнмо ввести операторы 6, преобразующие вектор [А) в другой вектор: (,! [А) =[()А).
(7.6.9) Операторы с7 часто называют «супероператорамн». В произвольном базисе нмеем (т'т [Я [ А) = Х (т'т [1;! [и'и) (и'и [А) = л'л !лчлГлы'л~ ~л'лю =Е (7.6.10) где использованы условие полноты (7.6.3) н соотношенне (7.6.4).
Таким образом, элементы супероператоров характернзуются четырьмя нндексамн '). В качестве примера обратимся к общему уравпенню ре. лаксацпн (7.5.1): РлГт = Х /~~в'лл'лрл'л л'л Рассматривая матричные элементы как внутреннне пропзведення лнувнллевскнх векторов согласно (7.6.4), можно запнсать (ли'т [ р) = Х (т'т Я[и'и) (и'и [р).
Подстановка единичного оператора (7.6.3) дает (т'т [р) =(т'т ! /7 [р), нлн [р) = А[р). (7.6.1 Ц где /с — супероператор релаксация Особое значенне для неравновесной квантовой статнстнкн имеет оператор Лиуееллля 1,, определенный для данного гамнльтоннана Н н любого оператора А соотношением Х [А) =(1/й) [[Н, А1), (7.6.!2) где [Н, А1 Означает обычный комму~втор в гнльбертовом пространстве.
Удобный базис [1', /) для Е можно постронть нз собственных состояний [1), [/) ... гампльтонпана. В этом базисе Х [11) = х, [1) (/ [= (1/й) 1[н, ! 1) (1 [! ) = со1~ 11/), (7 6.13) ') Такое представленне называют такксе тетрадным, а соответствуюпв1е операторы — тетрадпкапк. — ПР1сч. Ред. т е, собственные значения оператора Лнувплля совпадают с возможнымн частотами со11 системы.
Уравнение движения (2.4.16) для матрицы плотности можно записать в новых обозначениях в следующем впдел ! р) = — (1/й) [[Н, р) ), плп [р) = — !Е [р). (7.6.14) Формальное решение уравнения (7.6.14) имеет внд [р(1)) =[р(0))ехр( — 1Е1), (7.6.!5) а соответствующий супероператор временной эволюции равен й(г) = хр( — !й).
(7.6.16) Советуем сравнить выражение (7.6.15) с обычной формой (2.4.16) . Выражения (7.6.7) и (7.6.15) позволяют получить компактное представление для козффнцнентов возмущения, определенных соотношением (4.7.6.). Предполагая, что рассматрнваемая система в момент временп ! = 0 описывается матрнцеп плотности ! р (0)) = Х (т (/)'„) [ т Д„), а в момент временн ! — матрнпей [р(!)) = 2'. (т(/, !)'„) [7(/)„), где коэффпцнент возл1ущення в обозначениях лнувиллевского формалнзма дается выражением а(!ф=(т(/)„[й(!) [7(/)„„).
(7.6.!8) Представленный здесь формалпзм прпменялся различными авторами к теорнп угловых корреляций, возмущенных процессамп релаксацнн (см., например, ОаЬТ1е1, 1969; Возке, ОаЬ- пе1, 1974), Реальное преимущество оператора Лпувплля проявляется в резольвепп1ой форме. Резольвентный метод, которын пс. получаем пз (7.6.8) н (7.6.15) (7(/, !)', ) =(т(/), [р(!)) =(т(/), [(/(!) [р(0)) = = ',л,(т Д'„,) О Я,'"„(7.6. !7) глава т квлнтовля тзогня нвлхкслцип 223 пользует идеи и методы теории рассеяния для описания матрицы плотности в лиувнллевском представлении, позволяет представить формализм в компактной форме.
Познакомиться с этим методом читатель может по оригинальной работе Цванцига (агапа)я, 1960). 7.7. Линейный отклик квантовой системы на внешнее возмущение Физические задачи связаны с определением неизвестных свойств спстсмьь Для этого воздействуют на систему внешним агентом и наблюдают реакцию системы. Инымп словамв, наблюдатель задает вопрос системе, а система отвечает.
Исходя нз такой обгцей постановки, был развит формализм линейного отклика. Этот формализм Кубо впервые применил к теории необратимых процессов. Его цель состояла в изучении явлений переноса, например эффектов, обусловленных действием на равновесную систему внешних спл, которые вызывают отклонение системы от равновесия и появление тепло- и электропроводности или иной реакции на возмущение. В данном разделе мы дадим краткое введение в этот формализм. Пусть на квантовую систему, описываемую матрицей плотности Р(1), действует внешнее возмущение 1'(1).
В теории необратимых процессов обычно предполагают, что система находилась в статистическом равновесии с термостатом в отдаленном прошлом (1-э — со). Это выражается начальным условием (7.7.1) Р(1) 'Ро при 1-1- — со, где рз — равновесная матрица плотности системы.. Временная эволюция матрицы плотности определяется уравнением Лиувилля (2.4.16).
Если и'(1) достаточно мало, то в первом порядке теории возмущений решение уравнения Лиувилля можно записать в виде РЯ=ро ((Я ~ Лг'ехр(1Но(1' — 1)IЬ]Х Х ]У (1'), ро] ехр] — (Но(1' — 1)/3]. (7.7.2) Его можно получить, преобразовав (2.4.43) обратно в представление Шредингера с помощью (2.4.25) и (2.4.37). В этом приближении изменение среднего значения (А) оператора А равно Ь (А (1)) = (г (р (1) А) — 1г РоА = --4~( ]-~["""„' ц]~~и~.ы-~( — '"'"„'-ц]ла~ (7.7.3) Величину Л(Л(1)) можно рассматривать как отклик системы иа внешнее возмущение в первом порядке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
