FUUSIK~1 (731720), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

millest

Nagu panite tähele, integreerimiskonstant kirjutati seekord logaritmi kujul, lnA₀ , et muutuse alguspunkt viia sisse suhtena, mitte vahena lõpp-punkti suhtes. Viimase valemi võib kirjutada ka kujul

.

kus =1/k. Need valemid kujutavad eksponentsiaalseid protsesse ja  on nn. eksponendi tegur (antud juhul ajategur), k aga on kiiruskonstant. Aja  möödudes on eksponentsiaalselt kahanev protsess vähenenud suhtes e^-1=0.368. Kahe ajateguri möödudes e^-2 = 0.135 ja e^-3=0.050. Seega, eksponentsiaalsete protsesside praktilise lõppemiseni kulub vähemalt 3 kuni 5.

Kui diferentsiaalvõrrand näitab, et suurus mitte ei kahane, vaid kasvab iseendaga võrdeliselt, saame samasuguse eksponentsiaalse lahendi, aga positiivse astendajaga. Nii kirjeldub näiteks populatsiooni (bakterite koloonia) kasv, taime kasv, majanduse (kapitali) kasv etc. Aja t asemel võib esineda ka teepikkus, näiteks kui valguskvandid läbivad neelavat ainet või juhuslikult asetatud neelavaid objekte (taimkatte lehestik). Siis konstant k näitab valguse (või radioaktiivse kiirguse) nõrgenemist teepikkuse ühiku kohta.

Joonistada eksponentsiaalsete muutuste graafikud.

Kui esimest järku diferentsiaalvõrrand sidus omavahel argumendi ja funktsiooni muutumise kiirusi (esimest järku tuletisi), siis teist järku diferentsiaalvõrrand seob omavahel argumendi ja funktsiooni muutumise muutumise kiirusi (teist järku tuletisi). Teist järku diferentsiaalvõrrandi näiteks on võnkumiste võrrand, mis baseerub teadmisel, et pendlit (või vedru) tagasitõmbav jõud on võrdeline hälbega tasakaaluseisust A. Kuna jõud põhjustab kiirenduse, ehk kiiruse muutumise, siis väidab see võrrand, et võnkuva massi kiiruse muutumise kiirus (kiirendus) on võrdeline hälbega tasakaaluseisust ja suunatud tasakaaluseisu poole:

Selle võrrandi lahend on siinusfunktsioon, näiteks pendli võnkumine või murdja-ohvri populatsiooni võnkuv olek (Volterra võrrand). Lahendist nähtub, et periood  väljendub järgmiselt:

ehk

Selleks, et määrata, missuguses siinuse punktis asub lahend teatud ajahetkel, on lisaks võrrandi lahendiks olevale siinusfunktsioonile tarvis teada juba kahte algtingimust: algkoordinaati, millest liikumine algab ja liikumise algsuunda, kas tasakaalupunkti poole või sellest eemale.

INTEGRAALID

Ülaltoodud diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks pidime integreerima funktsiooni, mis määras seose diferentsiaalide (väikeste muutuste) vahel. Näiteks kui keha alustab liikumist nullkiirusest ja liigub ühtlaselt kiirenevalt kiirendusega a m s^-2 , siis aja möödudes tema kiirus on v(t) =at (tähistus v(t) tähendab, et suurus v on aja t funktsioon). Selleks, et leida aga, kui kaugele keha jõudis sellesama aja t jooksul, ei saa lihtsalt lõppkiirust ajaga korrutada, vaid tuleb arvestada, et igal ajahetkel oli keha kiirus erinev. Võib eeldada, et iga väga lühikese ajavahemiku dt jooksul läbitud teepikkus . Keha asukoha muutuse leidmiseks pika ajavahemiku t₂-t₁ jooksul tuleb kasutada integraali: ehk antud juhul

Integraali on lihtne leida kui v(t) on astmefunktsioon (antud juhul esimese astme funktsioon). Reegel on järgmine:

, näiteks kui v=at siis . Veel näiteid: ; ;

Aga peame meeles et ja

Määramatud ja määratud integraalid

Ülaltoodud reeglid võimaldavad leida integraali funktsionaalse kuju, kuid selle tegeliku väärtuse arvutamiseks tuleb teada, missugusest integreeritava funktsiooni väärtusest summeerimist alustati ja missuguse väärtuse juures lõpetati. Pöördume kiireneva liikumise näite juurde tagasi ja küsime, kui pika tee läbis keha alates ajahetkest t₁ ja lõpetaes ajahetkega t₂? Seda arvutatakse nii, et leitakse määramatu integraali väärtus ülemisel rajal t₂ ja lahutatakse sellest määramatu integraali väärtus alumisel rajal t₁:

Kui t₁=0 siis iga aja t jaoks, sest x₁=0.

Kursuse jooksul kasutame integreerimist lisaks ebaühtlase kiirusega liikumisel läbitava teepikkuse arvutamisele veel näiteks aatomituuma ümbritseva elektrivälja potentsiaalse energia arvutamiseks ja gaasi paisumisel tehtava töö arvutamiseks.

Kinemaatika põhimõisted

Nagu öeldud, füüsika on teadus mis käsitleb kehade liikumist. Selleks aga tuleb defineerida liikumist kirjeldavad suurused ehk parameetrid, mis on: asukoht (koordinaadid), kiirus, kiirendus.

Asukoht (koodinaadid).

Keha asendi ja selle muutuste (liikumise) kvantitatiivseks kirjeldamiseks kasutatakse ruumikoordinaate. Koordinaadid on arvud, mis määravad keha kauguse mingitest kindlaksmääratud kohtaest, koordinaat-telgedest. Kolmemõõtmelises ruumis on asendi mäaramiseks vajalik kolm arvu (koordinaati), kahemõõtmelises (tasapinnal) kaks ja ühemõõtmelises (joonel) uksainus arv. Analoogiat edasi arendades saab ette kujutada ka enama kui kolemõõtmelisi ruume, näiteks võttes neljanda mõõtmena kasutusele aja, aga kui tarvis, veel teisi muutuvaid parameetreid. Sejuures on tähtis, et juurdetoodavad muutujad ei oleks seoste kaudu tuletatavad olemasolevatest, vaid oleksid täiesti sõltumatud, ortogonaalsed (piltlikult oleksid kõik teljed üksteisega risti, kuigi neid võib olle palju rohkem kui kolm).

Kõige sagedamini kasutatav koordinaat-teljestik on sirgete ristiolevate telgedega nn. ristkoordid e. Cartesiuse koordinaadid. Selles teljestikus määratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu: esiteks liikudes piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja lõpuks ristisuunas piki z-telge. Kaugused x, y ja z kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha riskoordinaadid. Riskoordinaadistikku kasutatakse näiteks USA-s linnade planeerimisel, kus ‘streedid’ ja ‘avenue’d on üksteisega risti ja nummerdatud kasvavas järjekorras alates linna keskpunktist. Positiivsete ja negatiivsete väärtuste asemel kasutatakse ‘North’, ‘South’, East’ ja ‘West’ lisandeid.

Cartesiuse koordinaadid ei ole ainuke viis keha asukoha määramiseks, vaid seda saab teha ka mõne testsuguse kolme arvu kombinatsiooni abil, peaasi, et kolm liikumist, mida need arvud kirjeldavad, oleksid ikka omavahel ristsuundades. Näiteks tsentraalsümmeetriliste (kerakujuliste ja kerakuju moondumisena tulenenud liikumiste) kirjeldamiseks on mugavamad nn. polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate on ka kolm, kuid ainult üks neist (raadius r) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks ülejäänut on nurgad, mis määravad selle liikumise suuna, mida mööda minnes määratud punkti jõutakse. Esimene on nurk (teeta), mis määrab erinevuse vertikaalsihist ja teine on nurk , mis mäarab erinevuse kokkuleppelisest horisontaalsihist. Polaarkoordinaate kasutatakse geograafias, kus ‘põhjalaius’ on sisuliselt 90°- ja idapikkus on Kuna määratavad punktid asuvad kõik Maa pinnal, siis raadius oleks kõigi jaoks umbes 6000 km ja see jäetakse kirjutamata. Maapinna kohal õhus või maa sees olevate punktide koordinaatidele tuleks aga raadiuse väärtus juurde lisada. Polaarkoordinaate allpool näiteks elektroni orbitaalide kvantmehaaniliseks kirjeldamiseks vesiniku aatomis.

Liikumine, kiirus

Liikumine on keha asukoha (koordinaatide) muutumine ajas. Lihtsaim on ühtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on kiiruse absoluutväärtus ja suund.

Kiirus (v) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse ajaühikus läbitud teepikkusega. Teepikkus s on kahe asukoha vahekaugus. Kolmemõõtmelises ruumis avaldub teepikkus alg ja lõpp-punkti koordinaatide kaudu järgmiselt

(1.1)

Pikkuse (teepikkuse) ühikuks on meeter, m. Meeter on ligilähedaselt 1/40000000 Maa ümbermõõtu, kuid täpne ühik on kokkuleppeline ja oli pikemat aega defineeritud kui kahe peene kriipsu vahe plaatina-iriidiumi sulamist siinil, mida hoiti Pariisi lähedal, nüüd aga on meeter seotud teatud aine aatomite poolt kiiratava valguse lainepikkusega. Meeter on üks kolmest põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu.

Kiirus

, kust ja (1.2)

Viimased valemid seovad omavahel kiiruse, teepikkuse ja aja. Aja ühikuks on sekund, s. Sekund on ligilähedaselt 1/(365.25x24x60x60) keskmise astronoomilise ööpäeva pikkusest, kuid tema täpne väärtus on praegu seotud teatud aine poolt kiiratava valguse võnkeperioodiga. Sekund on üks kolmest põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute kaudu. Näiteks kiiruse ühik on m/s ehk m s^-1 ja see on tuletatud põhiühikutest. Suurem osa tuletatud ühikuid on seotud põhiühikutega andes viimastele väärtuse 1.

Nii teepikkus kui ka kiirus on vektorid, millel on x, y, ja z- suunalised komponendid. Kahemõõtmelisel (tasapinnalisel juhul) vektori s kaks komponenti on s_x=scos; s_y=ssin

Ebaühtlase liikumise kiirendus (a) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse kiiruse muutusega ajaühikus. Sirgjoonelise liikumise kiirendus on kiiruse muutumise kiirus, seega teine tuletis teepikkuse muutumisest:

(1.3)

Ka kiirendus on vektor, s.t., valem (1.3) kehtib s_x, s_y ja s_z suhtes eraldi. Kiirenduse ühik on m s^-1 s^-1 = m s^-2 (loe: meeter sekundis sekundis).

Kiirendusega liikumise kiirus

Характеристики

Список файлов реферата