166018 (685434), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Заметим, что выше уже записаны уравнения для нахождения собственных векторов матриц C(i), однако в этих уравнениях фигурируют собственные значения этих матриц, которые необходимо найти. Для матрицы С(1) получаем трехкратное собственное значение, равное единице, поэтому находим собственные значения матриц С(2) и С(3). Запишем для них вековые уравнения:

; . (29)

Раскрывая определить третьего порядка, получаем

(²--2)(2-)=0; ₁=₂=2; ₃=-1; -³-9=0; ₁=0; ₂=3; ₃=-3.

4. Находим теперь собственные векторы для рассматриваемых матриц. Для матрицы С(1) – это произвольный вектор x₁⁽¹⁾= (x₁, x₂, x₃). Для собственного значения =2 матрицы С(2) имеем

,

где x₃ – любое. Сам вектор можно записать в виде x₂⁽²⁾= (x₁, x₂, x₃). Поскольку =2 – двукратное собственное значение, то матрица С(2) имеет два линейно независимых собственных вектора с собственными значениями, равными 2, например, (1 1 0) и (0 0 1) (фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений).

Для =-1 в случае той же матрицы находим

x₂^(-1)=(-2x₂, x₂, 0)=(2x₂, -x₂, 0); x₂=-x₂.

Для собственного значения =0 матрицы С(3) получаем х₃⁽⁰⁾=х₂^(-1), т. е. мы уже нашли общий собственный вектор матриц С(1), С(2), С(3).

Для =3 в случае матрицы С(3) запишем x₃⁽³⁾= (x₁, x₁, x₁).

Для =-3 той же матрицы С(3) получим x₃^(-3)= (x₁, x₁, -x₁).

Таким образом, выполнили пункт 4 алгоритма для нахождения характеров неприводимых представлений конечных групп. Чтобы выполнить пункт 5, необходимо найти общие собственные векторы для всех матриц C(i), i=1, 2, 3. Один из них уже найден – это вектор x₃⁽³⁾=(x₁, x₁, x₁) приравнивается вектору x₂⁽²⁾= (x₁, x₁, x₃), откуда следует, что x₃=x₁. Получим второй общий собственный вектор. Соответствующие собственные значения для этого вектора запишем в виде (1, 2, 3).

Приравняем теперь векторы x₃^(-3)= (x₁, x₁, -x₁) и x₂⁽²⁾= (x₁, x₁, x₃). Это дает x₃=-x₁, т. е. третьим общим собственным вектором рассматриваемых матриц будет вектор (x₁, x₁, -x₁). Поскольку матрица С(3) имеет все различные собственные значения, то соответствующие собственные подпространства одномерны. Но так как у матриц С(2) и С(3) должны быть общие собственные векторы, это накладывает ограничения x₃=-x₁ для собственных векторов матриц С(2) вида x₂⁽²⁾, которые образуют двумерное собственное подпространство. Чтобы получить характеры неприводимых представлений, необходимо нормировать полученные общие собственные векторы, учитывая, что порядок группы S₃ равен 6 и что числа элементов в классах сопряженных элементов образуют вектор (1, 2, 3). Умножив скалярно вектор x₃⁽³⁾= (x₁, x₁, x₁) на вектор (1, 2, 3) и разделив на 6, получим

; x₁+2x₁+3x₁=6,

т. е. х₁=1.

Таким образом, получаем первый характер х₁=(1, 1, 1). Для вектора (x₁, x₁, -x₁), умножая его скалярно на (1, 2, -3) и деля на 6, также получаем x₁=1, что дает характер х₂=(1, 1, -1). Наконец, для вектора (2х₂, -х₂, 0) получаем

, (30)

откуда х₂=1.

Заметим, что скалярный квадрат вектора (2х₂, -х₂, 0) равен 4x₂²+2x₂²=6x₂², так как имеется два элемента в классе сопряженных

элементов K₂={(1 2 3), (1 3 2)} – этим и вызвано появление множителя 2 в выражении (30). С другой стороны, этот множитель равен размерности неприводимого представления группы S₃, так что x₃=(2, -1, 0) есть характер двумерного неприводимого представления группы S₃. Полученные результаты удобно записать в виде следующей таблицы.

Таблица 5

Характеры неприводимых представлений группы S₃=C_3V

Таблица 5 – это известная таблица характеров неприводимых представлений группы S₃ (см. табл. 2), только в нижней части ее указаны собственные значения матриц C(1), C(2), C(3), которые дают общие собственные векторы этих матриц.

Составив табл. 5, одновременно нашли первую и вторую собственную матрицу P и Q. Матрица, стоящая внизу в таблице, - это первая собственная матрица. Вторую собственную матрицу Q можно получить из соотношения PQ=QP=|G|E или найти с использованием общих правых собственных векторов-матриц C_i. Матрица Q имеет вид (рядом указана транспонированная матрица)

; .

В соответствии с теоремой 1 таблица характеров неприводимых представлений группы S₃ находится по формуле

.

Здесь m₁=1; m₂=1; m₃=4, поэтому

,

где в правой части находится таблица неприводимых характеров группы S₃, приведенная в верхней части табл. 5.

2.6 Операторы проектирования

1. Операторы проектирования и идемпотенты кольца

Пусть векторное пространство V равно прямой сумме подпространств W и L: . По определению прямой суммы это означает, что каждый вектор vV однозначно представим в виде v=w+l, wW. lL.

Определение 1. Если , так что v=w+l, то отображение , сопоставляющая каждому вектору vV его компоненту (проекцию) wW, называется проектором пространства V на пространство W. называют также оператором проектирования, или проекционным оператором.

Очевидно, если wW, то (w)=w. Отсюда следует, что обладает следующим замечательным свойством ²=Р.

Определение 2. Элемент е кольца K называется идемпотентом (т. е. подобным единице), если е²=е.

В кольце целых чисел есть всего два идемпотента: 1 и 0. Иное дело в кольце матриц. Например, матрицы , , , - идемпотенты. Матрицы операторов проектирования также идемпотенты. Соответствующие им операторы называются идемпотентными операторами.

Рассмотрим теперь прямую сумму n подпространств пространства V:

.

Тогда аналогично случаю прямой суммы двух подпространств можем получить n операторов проектирования , , …, . Они обладают свойством = =0 при ij.

Определение 3. Идемпотенты e_i и e_j (ij) называются ортогональными, если e_i e_j= e_j e_i=0. Следовательно, и - ортогональные идемпотенты.

Из того, что IV=V, и из правила сложения линейных операторов следует, что

.

Это разложение называется разложением единицы в сумму идемпотентов.

Определение 4. Идемпотент е называется минимальным, если его нельзя представить в виде суммы идемпотентов, отличных от е и 0.

2. Каноническое разложение представления

Определение 5. Каноническим разложением представления Т(g) называется его разложение вида Т(g)=n₁T₁(g)+ n₂T₂(g)+…+ n_tT_t(g), в котором эквивалентные неприводимые представления Т_i(g) объединены вместе, причем n_i – кратность вхождения неприводимого представления T_i(g) в разложение T(g).

Теорема 1. Каноническое разложение представления определяется с помощью проекционного оператора вида

, i=1, 2, …, t, (31)

где |G| - порядок группы G; m_i – степени представлений T_i(g), где i=1, 2, …, t; _i(g), i=1, 2, …, t – характеры неприводимых представлений T_i(g). При этом m_i определяется по формуле

. (32)

3. Проекционные операторы, связанные с матрицами неприводимых представлений групп

С помощью формул (31) можно получить только каноническое разложение представления. В общем случае, надо воспользоваться матрицами неприводимых представлений, которые позволяют построить соответствующие операторы проектирования.

Теорема 2. Пусть - матричные элементы неприводимого представления T^r(g) группы G. Оператор вида

(33)

является оператором проектирования и называется оператором Вигнера. В выражении (33) m_r – размерность представления T_r(g).

4. Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера

Обозначим через М модуль, связанный с представлением Т. Пусть неприводимым представлениям Т₁, Т₂, …, Т_t из канонического разложения представления согласно методу, описанному ранее (см. § 4), соответствуют неприводимые подмодули М₁, М₂, …, М_t. Разложение модуля М вида

(34)

называется каноническим разложением модуля М. Обозначим n_iM_i=L_i, так, что

. (35)

Неприводимые подмодули модулей L_i обозначим

; i=1, 2, …, t. (36)

Эти модули нам необходимо найти.

Предположим, что задача решена. Следовательно, в каждом из модмодулей M_i^(s) (s=1, 2, …, n_i) найдена ортонормированная база , в которой оператор представлен матрицей Т_i(g) неприводимого представления Т, полученного в результате действия (по правилу из § 3) оператора на базу по формуле

, j=1, 2, …, m_i. (37)

В этом выражении можно считать, что m_i – размерность неприводимого представления T_i (i=1, 2, …, t), причем - элементы базы с номером g из неприводимого подмодуля M_i. Разместим теперь элементы базы L_i при фиксированном i следующим образом:

(38)

Справа в выражении (38) расположены базы модулей M_i⁽¹⁾, M_i⁽²⁾, …, . Если же i изменять от 1 до t, то получим искомую базу всего модуля М, состоящего из m₁n₁+ m₂n₂+…+ m_tn_t элементов.

Рассмотрим теперь оператор

, (39)

действующий в модуле М (j фиксировано). Согласно теореме 2, - оператор проектирования. Поэтому этот оператор оставляет без изменения все базисные элементы (s=1, 2, …, n_i), расположенные в j-м столбце выражения (38), и обращает в нуль все остальные векторы базы. Обозначим через M_ij векторное пространство, натянутое на ортогональную систему векторов , стоящие в j-м столбце выражения (38). Тогда можно сказать, что является оператором проектирования на пространство M_ij. Оператор известен, так как известны диагональные элементы матриц неприводимых представлений групп, а также оператор T(g).

Теперь можно решить нашу задачу.

Выберем n_i произвольных базисных векторов в M: и подействуем на них оператором проектирования . Полученные векторы лежат в пространстве M_ij и являются линейно независимыми. Они не обязательно ортогональны и нормированы. Ортонормируем полученную систему векторов согласно правилу из § 2. Полученную систему векторов обозначим e_ij^(s) в соответствии с обозначениями, принятыми в предположении, что задача решена. Как уже обозначалось, здесь j фиксировано, а s=1, 2, …, n_i. Обозначим e_if^(s) (f=1, 2, …, j-1, j+1, …, m_i), остальные элементы базы модуля M_i размерности n_im_i. Обозначим через следующий оператор:

Характеристики

Список файлов ВКР