166018 (685434), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

(е_i)=a_1ie₁+a_2ie₂+…+a_kie_k, i=1, 2, …, k.

Но так как эти векторы лежат и в пространстве V, то можно также написать

(е_i)=a_1ie₁+a_2ie₂+…+a_kie_k+0e_k+1+…+0e_n, i=1, 2, …, k.

Что же касается отдельных базисных векторов e_k+1, e_k+2, …, e_n, то, поскольку они не принадлежат W, их образы выражаются через базис наиболее общим способом и получаем следующую картину:

(е₁)=a₁₁e₁+a₂₁e₂+…+a_k1e_k+0e_k+1+…+0e_n

(е₂)=a₁₂e₁+a₂₂e₂+…+a_k2e_k+0e_k+1+…+0e_n

(е_k)=a_1ke₁+a_2ke₂+…+a_kke_k+0e_k+1+…+0e_n

(е_k+1)=a_1,k+1e₁+a_2,k+1e₂+…+a_k,k+1e_k+ a_k+1,k+1e_k+1+…+a_n,k+1e_n

(е_n)=a_1ne₁+a_2ne₂+…+a_kne_k+ a_k+1,ne_k+1+…+a_nne_n.

Отсюда видно, что матрицы всех элементов группы G в предствлении Т будут одновременно иметь следующий вид:

(6)

Поэтому на языке матриц матричное представление называется приводимым, если все матрицы его могут быть записаны при определенном выборе базиса в виде (6). Если же ни при каком выборе базиса матрицы представления нельзя записать в указанном виде, представления называются неприводимыми.

3. Представления групп и модули

Рассмотрим конструкцию, позволяющую, зная представления групп, построить модуль М над кольцом K, связанный с этим представлением. Пусть теория представлений групп сформулирована на языке матриц и линейных операторов. Все матрицы данного порядка (линейные операторы в n-мерном пространстве) образуют относительно операций сложения и умножения матриц (линейных операторов) кольцо. Матрицы (линейные операторы) образуют алгебру в смысле следующего определения.

Определение 7. Алгеброй А над полем Р называется множество, в котором введены операции сложения и умножения элементов, а также операция умножения аА, Р, аА элементов поля Р на элементы из А, причем: 1) относительно операций сложения и умножения А является кольцом; 2) относительно операций сложения и умножения на элементы поля Р алгебра является векторным пространством; 3) операции умножения элементов кольца и умножения на элементы из поля связаны аксиомой

(ab)=(a)b=a(b); P; a, bA (7)

Матрицы, которые сопоставляются элементами группы в представлении Т, составляют лишь часть из множества всех матриц М_n, что следует хотя бы из того, что они невырождены. Однако, если Т(g₁), Т(g₂), …, T(g_s), s=|G| - все матрицы представления группы G, то с ними можем связать алгебру, состоящую из всевозможных линейных комбинаций этих матриц вида

K=₁ Т(g₁)+₂ Т(g₂)+..+_sT(g_s); _iR или С (8)

Пусть Р – поле комплексных или вещественных чисел. Рассмотрим формальные суммы вида

=₁g₁+₂g₂+…+_ng_n; _iP; g_iG; i=1, 2, …, n; n=|G| (9)

Подчеркнем, что так как в группе G есть только одна операция – умножение, левую часть нельзя рассчитывать как результат сложения элементов правой части. Назовем две суммы и равными, если _i=_i. Введем операцию сложения формальных сумм по правилу:

+=(₁+₁)g₁+(₂+₂)g₂+…+(_n+_n)g_n= ; _i=_i+_i.

Видим, что на множестве формальных сумм определена операция сложения, так как в результате операции снова получилась формальная сумма вида (9). Введем далее операцию умножения формальных сумм. Получим кольцо, которое называется групповым кольцом группы G над полем Р и обозначается в виде PG. Это кольцо можно превратить в алгебру. Для этого надо определить умножение P на PG. Умножение задается по формуле

. (10)

Относительно сложения и умножения по этой формуле PG представляет собой векторное пространство (аксиома (7)). Построенная алгебра называется групповой алгеброй группы G и обозначается, как и групповое кольцо, в виде PG.

Если сопоставить каждому элементу g_i в выражении (9) матрицу T(g_i) этого элемента в представлении Т, то получим матрицу (8), которую обозначим буквой K, так как она является элементом группового кольца матриц K. Как следует из определения модуля, главное при построении модуля – ввести умножение векторов на элементы группового кольца. Пусть V – пространство представления Т группы G. Произвольный вектор v этого пространства зададим координатами. Если А – матрица линейного оператора , действующего в векторном пространстве, то можно получить вектор v₁, в который переходит вектор v под действием оператора . Для этого надо просто умножить по правилу умножения матриц вектор v на матрицу А. Аналогично выполняется умножение вектора v на элемент группового кольца (и алгебры) PG:

v=vk=v₁, PG, v₁V, kK. (11)

Теперь, используя правило умножения (11) легко проверить условия определения модуля. Полученный модуль М называется модулем представления Т.

Если известен модуль М над групповой алгеброй PG, то можно получить представление, связанное с этим модулем. Так как группе G принадлежит единица I, то каждый элемент pP можно записать в виде p=pI. Отсюда следует, что модуль М является векторным пространством над полем Р. Поэтому каждому элементу PG можно сопоставить оператор (), действующий в векторном пространстве М по правилу

()(m)=m (12)

В частности, любому элементу gG можно сопоставить оператор (g), действующий по правилу (g)(m)=mg. Сопоставляя всем элементам группы G операторы (12), и получим представление Т, связанное с модулем М.

Учитывая отмеченное соответствие между модулями и представлениями, можно перевести на язык модулей основную терминологию теории представлений. Так, подмодулю М₁ модуля М соответствует представление Т₁, которое называется подпредставлением представления Т. Тривиальные подмодули модуля М – это сам модуль М и нулевой модмодуль О. Если все подмодули модуля М тривиальны, он называется неприводимым модулем, а соответствующее ему представление – неприводимым представлением. Если же модуль М имеет нетривиальный модмодуль, он называется приводимым модулем, ему соответствует приводимое представление.

4. Представление алгебр и модули

Обозначим через End_pV алгебру линейных операторов векторного пространства V над полем Р и пусть А – произвольная алгебра.

Определение 8. Представлением алгебры А называется сопоставление каждому элементу aA линейного оператора End_pV, причем должны выполняться следующие условия:

1. 1 , где - единичный оператор;

2. pap ; pP; aA;

3. a+b + ; a, bA; , End_pV;

4. ab ; a, bA.

Определение 8 является иной формулировкой определения модуля над кольцом А, если кольцо является алгеброй над полем Р.

Определение 9. Модулем над алгеброй А называется абелева группа по сложению М, для которой определена операция умножения элементов из А на элементы из М: amM, aA, mM и при этом выполняются следующие условия:

1. (a+a)m=am+am;

2. (aa)m=a(am);

3. em=m;

4. a(m+m)=am+am;

5. (a)m=(am)=a(m), P.

Здесь дано определение левого модуля.

Теорема 1. Всякий левый (правый) модуль М над кольцом А, которым является алгебра, представляет собой также векторное пространство над полем Р, причем для всех aA, mM, P справедливы равенства

(ma)=(m)a=m(a); (am)=a(m)=(a)m.

2.5 Характеры представлений

1. Определение и свойства характеров

Определение 1. След матрицы А=(а_ij) размера nn есть сумма ее элементов, стоящих по главной диагонали:

TrA=a₁₁+a₂₂+…+a_nn (14)

Определение 2. След матрицы Т(g), представляющий элемент g в матричном представлении Т группы G, называется характеристикой элемента g в представлении Т и обозначается _T(g).

Определение 3. Совокупность характеристик всех элементов g группы G, составленных для данного представления Т, называется характером представления Т и записывается как _T. Если Т – матричное представление группы G над полем вещественных или комплексных чисел Р, то характеристика каждого элемента группы является вещественным или комплексным числом и, следовательно, характер есть отображение _T группы G в поле Р, определяемое следующим образом:

_T: GP: _T(g)=TrT(g).

Свойство 1. Характеры эквивалентных представлений совпадают.

Свойство 2. Характер представления Т группы G постоянен на каждом классе сопряженных элементов: _T(g^-1hg)= _T(h), g, hG.

Определение 4. Вектор x0 из векторного пространства V над числовым полем Р называется собственным вектором линейного оператора , действующего в этом пространстве, если он удовлетворяет соотношению x=x, где - число, которое называется собственным значением (характеристическим числом) линейного оператора.

Условие того, что вектор х – собственный вектор записывается в виде матричного уравнения

(А - I)х = 0, (15)

где х – вектор-столбец с неизвестными координатами x₁, x₂, …, x_n. Условием существования ненулевого решения системы (15) является равенство нулю его определителя:

|A - I| = 0. (16)

Это уравнение степени n относительно называется характеристическим или вековым уравнением матрицы А линейного оператора, а его корни называются собственными значениями матрицы А, они являются собственными значениями оператора .

Свойство 3. Если ₁, ₂, …, _n – собственные значения линейного оператора , то _T(g)=T_rT(g)= ₁+₂+ …+_n.

Так как здесь рассматриваем конечные группы, то имеет место следующее свойство.

Свойство 4. Если Т – представление группы G над полем Р, то для каждого элемента gG значение _T(g) равно сумме корней из единицы степени, равной порядку элемента g.

Свойство 5. Если Т – представление группы G, то для каждого gG справедливо равенство _T(g^-1)= _T(g).

Свойство 6. Если и - характеры неприводимых представлений группы G, то

(17)

Равенство (17) называется соотношением ортогональности, для характеров, неприводимых представлений группы G.

Свойство 7. (второе соотношение ортогональности) Пусть T₁, T₂, …, T_m – все неэквивалентные представления группы G, K(a), K(b) – классы элементов группы G, сопряженных соответственно с a и b. Тогда

Характеристики

Список файлов ВКР