166018 (685434), страница 6

Файл №685434 166018 (Теория симметрии молекул) 6 страница166018 (685434) страница 62016-07-31СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

(18)

где |G| - число элементов в группе G; |K(b)| - число элементов в классе сопряженных элементов K(b); - характеры неприводимых представлений Ti, i=1, 2, …, m.

2. Таблицы характеров неприводимых представлений

Приведенные свойства характеров позволяют описать построение таблиц характеров неприводимых представлений. Строки таблицы будем нумеровать, как принято в теории представлений групп характерами, но одновременно будем указывать обозначения, принятые в молекулярной спектроскопии и кристаллографии: одномерные представления обозначаются A1, B1, A2, B2, …, двумерные – E1, E2, … и, наконец, трехмерные – F1, F2, … .

Так как по свойству 2 характеры постоянны на каждом классе сопряженных элементов, то столбцы таблицы нумеруются классами сопряженных элементов. Под обозначением класса сопряженных элементов указывается число элементов в классе – порядок класса. Рассмотрим в качестве примера группу C3V. Классы сопряженных элементов группы C3V имеют вид K1={I}, K2={C3, C32}, K3={ , , }. Известно, что группа C3V имеет три неприводимых представления, характеры которых приведены в табл. 2.

Таблица 2.

Классы

K1={I}

K2={C3, C32}

K3={ , , }

Порядок класса

1

2

3

A1

A2

E

1

1

2

1

1

-1

1

-1

0

3. Разложение характеров по неприводимым представлениям

В соответствии с рассмотренными свойствами характер приводимого представления T можно представить в виде разложения по характерам неприводимых представлений :

,

где ni – число, показывающее, сколько раз характер неприводимого представления Ti содержится в характере приводимого представления Т. На основании свойств ортогональности это число легко определяется, а именно:

. (19)

Формула (19) имеет важные применения в теории молекулярных спектров для определения числа состояний данного типа симметрии.

4. Определение характеров неприводимых представлений при применении групповых алгебр групп

Для достаточно широкого класса групп желательно иметь общий метод нахождения характеров неприводимых представлений.

Пусть дана группа G. Найдем классы сопряженных элементов Ki группы и обозначим сумму элементов группы, принадлежащих классу Ki. Здесь Сi являются элементами групповой алгебры PG группы G над полем Р. Проверим, перестановочны ли элементы Сi со всеми элементами алгебры PG. Для этого достаточно проверить, что для всех gG справедливы равенства gСiig или Сi=g-1Сig.

Действительно,

g-1 Сig=g-1(k1+k2+…)g=g-1k1g+g-1k2g+…

Так как в групповой алгебре выполним дистрибутивный закон, то очевидно, что правая часть содержит все элементы Сi и, следовательно, равна Сi.

Определение 5. Множество элементов алгебры, перестановочных со всеми элементами алгебры, называется центром алгебры.

Определение 6. Подмножество В алгебры называется подалгеброй алгебры А, если оно является подпространством векторного пространства А, и из того, что b1, b2B, следует, что .

Можно доказать, что элементы Ci образуют базис центра Z групповой алгебры PG:

Алгебру можно записать, задав таблицу умножения базисных элементов

. (20)

Элементы Cijk называются структурными константами алгебры. Для элементов Сi, образующих базис центра групповой алгебры, формула (20) принимает вид

. (21)

Теперь, на основании выражения (21), фиксируя индекс i (что обозначим, взяв этот индекс в скобки), получим матрицу C(i) коэффициентов Cijk. Эту матрицу можно рассматривать как матрицу линейного оператора , действующего в векторном пространстве, которым является центр алгебры Z. Действие его на базисные элементы Cj состоит в умножении Ci на Cj. Для того, чтобы записать матрицу C(i), надо рассмотреть столбец, в котором записаны произведения Ci на Cj. В результате получим матричное представление центра групповой алгебры. Матричное представление центра будет центром матричного представления всей алгебры. Иначе говоря, все матрицы C(i) коммутируют со всеми элементами матричного представления алгебры и между собой.

Мы приходим к задаче, аналогичной известной квантово-механической задаче: дана система коммутирующих между собой операторов, найти собственные значения и собственные векторы этих операторов. Оказывается, решение такой задачи имеет важное значение и для нахождения характеров неприводимых представлений.

Полученные выше матрицы Ci являются образующими элементами алгебры матриц, изоморфной алгебре Бозуа–Меснера, которая определяется следующим образом.

Назовем i-ой матрицей смежности Ai матрицу порядка, равного порядку группы G, строки и столбцы которой занумерованы элементами группы G, причем элементы матрицы Ai с номером (g, h), g, hG определяются как

Матрицы Ai состоят из нулей и единиц, поэтому их называют (0, 1) – матрицами.

Определение 7. Алгеброй Боуза – Меснера называется подалгебра алгебры матриц Mn(C), порожденная (0, 1) – матрицами Ai, i=1, 2, …, d, удовлетворяющими следующим условиям:

  1. A1=E, где Е – единичная матрица;

  2. A1+A2+…+Ad=J, где J – матрица, все элементы которой равны единице;

  3. , i[1, 2, …, d], где - матрица, транспонированная с матрицей Ai;

  4. ;

  5. .

Если построить матрицы смежности для группы G по указанному выше правилу, то они образуют базис алгебры Боуза–Меснера в соответствии с определением 7.

Если А – алгебра Боуза–Меснера, то из коэффициентов в соотношении можно образовать матрицы порядка d. Рассмотрим алгебру В, порожденную матрицами C1, C2, …, Cd, являющуюся подалгеброй алгебры dd матриц Md(C). Эта алгебра изоморфна алгебре А Боуза–Меснера. В силу того, что в алгебре изоморфные объекты не различаются, будем называть ее также алгеброй Боуза–Меснера.

Если рассматривать А как векторное пространство, то в А имеется естественный базис, состоящий из матриц Ai, которые по условию 5 определения 7 попарно коммутируют. Кроме того, эти матрицы нормальны (т. е. , где - комплексно-сопряженная и транспонированная с А матрица). Все матрицы Ai можно одновременно диагонализировать с помощью унитарной матрицы S. Столбцы являются общими собственными векторами матриц Ai, образующими базис общих собственных подпространств, а ее диагональные элементы являются собственными значениями матриц Ai, соответствующими общим собственным векторам. Если

, (22)

где diag – диагональная матрица, вне главной диагонали которой стоят нули, то pi(1), pi(2), …, pi(d) – указанные собственные значения. Тогда можно записать

k, i=1, 2, …, d,

где E1+E2+…+Ed=E, Ei2=Ei, EiEj=EjEi=0, ij.

Итак, в А появился второй базис, состоящий из идемпотентов Ei, i=1, 2, …, d, который связан с общими собственными векторами матриц Ai, из которых состоят линейно независимые столбцы матриц S.

Определение 8. Квадратная матрица Р порядка d, (j, i)-м элементом которой является pi(j), называется первой собственной матрицей алгебры Боуза–Меснера А. Матрица Q=(gi(j)) такая, что PQ=QP=|G|E, называется второй собственной матрицей Боуза–Меснера.

Возвращаясь к задаче определения характеров неприводимых представлений, сформулируем в приспособленном для наших целей виде теорему, позволяющую обосновать приводимый ниже алгоритм нахождения неприводимых характеров.

Теорема 1. Если G – конечная группа, а Т – ее таблица характеров, А – алгебра Боуза–Меснера классов сопряженных элементов, изоморфная алгебре пересечений В, P=(pi(j)) и Q=(qi(j)) – соответственно первая и вторая собственная матрицы этих алгебр, то таблица характеров определяется как произведение матриц в виде

где k1, k2, …, kd – мощности классов сопряженных элементов, mi определяются по формуле mi=fi2, где fi – степени неприводимых представлений.

Теорема 2. Каждый столбец таблицы характеров является общим левым собственным вектором матрицы Ci, Cj, …, Cd, а каждая строка является общим правым собственным вектором этих матриц. И наоборот, каждый стандартный общий левый собственный вектор матриц Ci и, каждый стандартный общий правый собственный вектор этих матриц с точностью до расположения строк и столбцов является строкой и соответственно столбцом матрицы характеров.

Замечание. Собственный вектор матрицы называется стандартным, если его правая координата равна единице.

5. Алгоритм нахождения характеров неприводимых представлений

Алгоритм. Для нахождения характеров неприводимых представлений группы G, надо:

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
12,79 Mb
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов ВКР

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее