166018 (685434), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1. Найти классы сопряженных элементов группы G, т. е. классы K1, K2, …, Kd.
2. Построить групповую алгебру CG группы G над полем С и алгебру классов сопряженных элементов Ci, i=1, 2, …, d необходимо определить структурные константы Cijk алгебры классов сопряженных элементов.
3. Построить алгебру Боуза–Меснера, для чего необходимо найти матрицы Ci=
.
4. Найти собственные числа матриц Ci и соответствующие им правые собственные векторы.
5. Найти всевозможные линейно независимые общие правые собственные векторы.
6. Построить первую и вторую собственные матрицы Р и Q алгебры Боуза–Меснера В.
7. Исходя из выражения для матрицы Q по формуле из теоремы 1 определить таблицу характеров неприводимых представлений группы G. Для этого необходимо найти числа 
, где f12+f22+…+fd2=|G|=m1+m2+…+md. Числа m1, m2, …, md можно также найти по формуле Биггса
,
где ui=(p1(i)/k1, p2(i)/k2, …, pd(i)/kd); vi=( p1(i), p2(i), …, pd(i)).
Эти векторы получаются стандартизацией i-го столбца матрицы, причем 1=k1, k2, …, kd – числа элементов в классах сопряженных элементов группы G порядка |G|.
Примеры
1. На примере группы C3V покажем некоторые приемы и соображения, с помощью которых можно составить таблицу характеров неприводимых представлений. Характер тождественного представления 1(А1) записывается сразу.
Для составления характера 2(А2) воспользуемся перестановочным представлением S3 группы C3V. Подстановки, соответствующие элементам 
, 
, 
=1 – четные, остальные подстановки – нечетные. Так как произведение четных подстановок – четная подстановка, причем четные подстановки образуют подгруппу А3 группы S3, то четным подстановкам сопоставим число 1, а нечетным – число –1. Произведение нечетных подстановок – четная подстановка и (-1)(-1)=1, а произведение подстановок разной четности – нечетная подстановка и (-1)1=1(-1)=-1. Следовательно, мы получили одномерное представление группы C3V, в котором элементам 1, , сопоставляется 1 (эти элементы представляются четными подстановками), а остальным элементам 
, 
, 
сопоставляется –1 (или соответствуют нечетные подстановки). Так как одномерные представления совпадают с характерами, то получаем вторую строку таблицы. Третья строка таблицы получается из следующих соображений. В теории представлений группы известно, что число неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов. Поэтому группа C3V имеет три неприводимых представления. Известно также, что сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы. В рассматриваемом случае 12+12+Z2=6, т. е. Z=2. Следовательно, группа C3V имеет двумерное неприводимое представление, в котором
, т. е. (1)=2 (см. табл. 2).
Остальные элементы строки 3 получаются из соотношений ортогональности для неприводимых представлений: 
и 
, где x, y – неизвестные числа из строки 3. Отсюда 2х+3y=-2, 2x-3y=-2, т. е. х=-1, y=0. Мы построили таблицу характеров неприводимых представлений, не зная двумерного неприводимого представления группы C3V.
2. Нахождение характеров неприводимых представлений группы S3.
Проиллюстрируем алгоритм нахождения характеров на примере групп S3.
Необходимо разложить все перестановки группы в произведении циклов. Элементы одинакового циклического строения образуют классы. Выпишем все перестановки группы S3:
; 
; 
; 
;
; 
.
При записи перестановок в циклах, если элемент i переходит в k, то k стоит не под i, а рядом с i; при этом цикле длины 1, кроме e=(1), не пишутся. Таким образом, в циклах e=(1); a=(1 2 3); a2=(1 3 2); b=(2 3); c=(1 3); d=(1 2).
В такой записи наглядно видно циклическое строение группы. Поэтому сразу находим все три класса сопряженных элементов группы S3:
K1={(1)}; K2={(1 2 3), (1 3 2)}; K3={(2 3), (1 2), (1 3)}.
Групповая алгебра CS3 группы S3 состоит из элементов
=1e+2a+3a2+4b+5c+6d, (23)
где iC; e, a, a2, b, c, d – шесть перестановок, образующих группу S3. Учитывая обозначения перестановок, запишем элементы групповой алгебры, являющиеся суммами элементов классов:
C1=e1; C2=a+a2; C3=b+c+d.
При построении таблицы Кэли группы S3 воспользуемся таблицей группового умножения группы C3V и запишем
=е; 
=а; 
=a2; =b; =c; =d.
Тогда таблица примет следующий вид.
Таблица 3
Квадрат Кэли группы S3
| S3 | e | a | a2 | b | c | d |
| e | e | a | a2 | b | c | d |
| a | a | a2 | e | d | b | c |
| a2 | a2 | e | a | c | d | b |
| b | b | c | d | e | a2 | e |
| c | c | d | b | a | e | a2 |
| d | d | b | c | a2 | a | e |
Таблица Кэли группы S3 определяет групповую алгебру CS3, в частности, позволяет умножать элементы из выражения (23).
Переходя к составлению таблицы умножения базисных элементов центра Z групповой алгебры CS3, заметим, что элемент C1 является ее единицей, так что 
, i=1, 2, 3.
Найдем элемент 
:
=(а+а2)(а+а2)=а2+а3+а4=а2+2е+а=2е+а+а2=2С1+С2.
Далее находим :
=(b+c+d)(b+c+d)=b2+c2+d2+bc+bd+cb+cd+db+dc=3e+3a+3a2=3C1+3C2.
При этом мы воспользовались табл. 3. Заметим, что в силу принадлежности Ci центру алгебры 
, так что таблица будет симметричной относительно главной диагонали. Поэтому нам осталось найти C2C3:
C2C3=(a+a2)(b+c+d)=ab+a2b+ac+a2c+ad+a2d=d+c+b+d+c+b=2C3.
Используя полученные результаты, запишем таблицу умножения базисных элементов центра групповой алгебры группы S3 (см. табл. 4).
Таблица 4
Таблица умножения базисных элементов центра алгебры CS3.
| Z | C1 | C2 | C3 |
| C1 | C1 | C2 | C3 |
| C2 | C2 | 2C1+ C2 | 2C3 |
| C3 | C3 | 2 C3 | 3 C1+3C2 |
Запишем матрицы C(i):
; 
; 
. (24)
Эти матрицы получаются так. Например, действие элемента С(2) на остальные элементы можно представить следующим образом:
;
;
.
Записывая коэффициенты правой части в столбец, получаем С(2).
Мы построили матричное представление базисных элементов центра Z алгебры CS3, что позволяет получить и матричное представление центра этой алгебры.
Запишем характеристические уравнения для определения собственных чисел и собственных векторов матриц Ci в следующем виде (рассматриваем сначала общий случай d матриц Ci):
. (25)
Возвращаясь к случаю группы S3 получаем d=3, а коэффициенты 
можно найти из табл. 4 на основании выражения (24). При этом сначала зафиксируем индекс j, а индексы i и k будем менять, что позволяет разбить систему (25) на три подсистемы, соответствующие значениям j=1, 2, 3. Выпишем сначала 27 значений Cijk, разбитых на три группы, по 9 значений в каждой:
С111=1; С112=0; С113=0;
С211=0; С212=1; С213=0;
С311=0; С312=0; С313=1;
С121=0; С122=1; С123=0;
С221=2; С222=1; С223=0; (26)
С321=0; С322=0; С323=2;
С131=0; С132=0; С133=1;
С231=0; С232=0; С233=2;
С331=3; С332=3; С333=0;
Тогда находим следующие системы уравнений:
(27)
Подставляя в найденные системы уравнений (27) значения из выражений (26), получим
(1-х1) х1=0; - х2 х1+ х2=0; - х3 х1+ х3=0;
(1-х1) х2=0; (I) 2х1+(1-х2) х2=0; (II) - х2 х3+2х3=0; (III) (28)
(1-х1) х3=0; (1-х2) х3=0; 3х1+3х2-x32=0.
Обратим внимание на два обстоятельства.
1. Во всех трех системах находятся одни и те же неизвестные, стоящие вторыми сомножителями, т. е. вектор x=(x1, x2, x3) является общим собственным вектором всех матриц С(1), С(2), С(3).
2. Указанные системы можно получить, взяв матрицы (24), транспонировать их, рассмотреть разности C(1)-X1E, C(2)-X2E, C(3)-X3E и затем умножить полученные матрицы на столбец (x1, x2, x3)Т (знак Т обозначает транспонирование).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
