240-1630 (675869), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

= h (х_k)², (х₀ = 0)

Задача сведена к суммированию квадратов чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования, эквивалентные следующим аналитическим преобразованиям:

Так как х²/а² + у²/в² = 1, то х² = а²/в²(в² – у²) и далее каждого сечения: (х₁)² = а²/в²(в² – h²),

(х₂)² = а²/в²(в² – (2h)²),

…………………………,

(х_п-1)² = а²/в²(в² – [(п–1)h]²),

откуда V_оп = h(х_k)² = (hа²)/в²[пв² – h²²], где

 – последовательные натуральные числа. Для нахождение сумм квадратов последних Архимед применил геометрические оценки вида (п³h²)/3  (h)²  ((п+1)³ h³)/3

о ткуда (так как пh = в)

(в³)/3  (h)²h  в³/3 + в³/п + в³/п² + в³/3п³

что до известной степени эквивалентно оценке для  х²dх

из этих оценок получается

V_оп = (а²/в²)h [пв² – h²(п³/3)] = а²в(1–1/3) = 2/3а²в

Аналогично V_вп  2/3а²в.

Но так как согласно лемме, V_оп – V_вп  Е, то искомый объём сегмента

V  2/3а²в,

то есть, равен удвоенному объёму конуса с тем же основанием и высотой, что и сегмент.

Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.

Приведённый пример показывает, что в античной математике сложился ряд элементов определённого интегрирования, в первую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, аналогичных до известной степени суммам Дарбу.

3.2.От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.

Первые значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда были предприняты в XVII в. одним из первых видных учёных, стремившихся к возрождению и развитию интеграционных методов, был Иоганн Кеплер.

1612 г. был для жителей австрийского города Линца, в котором жил тогда Кеплер, исключительно урожайным, особенно изобиловал виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определять их объёмы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей, которыми интересовался Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет в 1615 г.

Кеплер вычислил площади плоских фигур и поверхностей и объёмы тел, основываясь на идее разложения фигур и тел на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он называл «тончайшими кружочками» или «частями крайне малой ширины»; из этих мельчайших частиц, суммированных им, он составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но площадь или объём которой ему известен.

Методы Кеплера в определении объёмов тел вращения, были нестрогими. Многие учёные посвятили свои работы усовершенствованию оперативной стороны этого предприятия. Наибольшую известность приобрела геометрия неделимых, изобретённая Кавальери. Делом его жизни, имевшим наибольшее значение для развития математики, был метод неделимых.

Метод неделимых изобретён для определения размеров плоских фигур и тел.

Как фигуры, так и тела представляются составленными их элементов, имеющих размерность на единицу меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых, проведённых параллельно некой направляющей прямой, называемой регула. Этих воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены между двумя касательными, параллельными регуле. В геометрических телах неделимыми являются плоскости, параллельные некоторой плоскости. Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две касательные плоскости, параллельные регуле.

С
овокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по существу вводит понятие определённого интеграла. Совокупность геометрии неделимых можно сформулировать так: плоские фигуры и тела относятся друг к другу, как все их неделимые, взятые вместе; если неделимые находятся в одном и том же отношении друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или объёмов тел) равно этому отношению.

Эти утверждения практически эквивалентны современным умозаключениям типа: даны две фигуры, ограниченные осью х, прямыми х = а и х = в и соответственно у₁ = f₁(х) и у₂ = f₂(х). (рис 7).

О тношение площадей

S₁/S₂ =  у_1k /  у_2k = f₁(х)dх / f₂(х)dх

Если у_1k / у_2k = а = const, для любого k, то и S₁/S₂ = k.

К
авальери доказал теорему: Сумма квадратов неделимых параллелограмма втрое больше суммы квадратов неделимых треугольника, образованного в результате проведения диагонали (рис. 8).

Введём для краткости обозначения: АС = а, RT = x, TV = y, RS = а/2 = в, ST = z. Тогда х = в + z, у = в – z и сумма квадратов частей неделимых х² + у² = 2в² + 2z².

Суммируем все неделимые, обозначив сумму квадратов неделимых символом [ ]:

[AEC] + [CGE] = 2[ABFE] + 2[BCM] + 2[FEM].

Заметим, что

[AEC] = [CGE]; [ABFE] = 1/4[ACGE];

[BCM] = [FEM] = 1/8[ACE],

что нетрудно понять, вообразив над каждым линейным элементом квадрат и рассматривая их совокупности. Следовательно, [ACE] = 1/4[ACGE] + 1/8[ACE] + 1/8[ACE]; [ACE] = 1/3[ACGE].

В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери доказал, что

х²dх = 1/3 а²dх

или иначе:

lim [(а/п)² (1² + 2² + … + п²)]/па² =

= lim  k²/п³ = 1/3.

Э ту теорему Кавальери сумел обобщить на случай суммирования более высоких степеней неделимых, вплоть до девятой, решив таким образом группу задач, эквивалентных вычислению определённых интегралов вида:

х^пdх , для п = 1, …, 9.

3.3.Теорема Паскаля.

Среди последователей Кавальери самыми видными учёными, подготавливавшими создание интегрального и дифференциального исчисления, были Дж.Валлик, П.Ферма, Б.Паскаль.

М етоды Валлика, изложенные в его «Арифметике бесконечных» (1655), развивались вслед за методом неделимых Кавальери. Валлик продвинулся значительно дальше Кавальери. При решении целого ряда геометрических задач Валлик по существу вычислял определённые интегралы от некоторых других алгебраических функций; у Валлика также впервые встречается в чётком виде арифметизированный предельный переход. При этом Валлик исходит уже не из примитивного понятия всех линий, а из суммы  f(х)_iх_i. Он рассматривает площадь (определённый интеграл) как общий предел верхних и нижних интегральных сумм при описании и вписании ступенчатых фигур.

Вычислением интегралов от степеней х^r, или, как говорили в то время, квадратурой «парабол» у = х^r, где r – рациональное число, П.Ферма занимался ещё в 1644 г. позже Ферма изложил общую теорию всех различных случаев.

Ещё более чётко понятие определённого интеграла выступает в трудах Б.Паскаля. все его усилия были направлены на уточнение метода неделимых. Попытка уточнения состоит в том, что он сумму всех неделимых понимал как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно близкими, одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограниченными отрезком оси абсцисс и кривой (то есть сумму вида уdх). В ряде задач он вводил сумму всех синусов, определяя её как сумму произведений ординат на элементы дуги (уds), которая в случае окружности единичного радиуса оправдывает своё название (sind).

Для примера рассмотрим следующую теорему из «Трактата о синусе четверти круга» (1658) Паскаля:

С
умма синусов какой–нибудь дуги (BF) четверти круга (рис. 9) равна отрезку основания (АО) между крайними синусами, умноженному на радиус (АВ).

Дуга BF делится на равные части, отмеченные точками из которых из которых проводятся синусы DI. Точки пересечения касательных к дуге окружности в точках D обозначены точками Е; из последних затем опускаются перпендикуляры ER.

Предварительно Паскаль указывает, что

DI ^. EE = RR ^. AB (1)

Действительно (рис. 10), из подобных прямоугольников DIA и EKE (ЕЕК = DAI) следует:

AD/DI = EE/EK

Ввиду того, что AB = AD, получаем равенство (1).

«Я утверждаю, — пишет после этого Паскаль, — что сумма синусов DI каждого умноженного на одну из равных дуг DD, равна прямой АО умноженной на радиус АВ». Заменяя каждую касательную ЕЕ дугой DD, Паскаль получает в левой части равенства (1) «сумму синусов», а в правой произведение АВ на сумму отрезков RR, то есть, на АО. Итак, теорема доказана. Отождествление дуги DD с отрезком касательной Паскаль только подразумевает.

Чтобы перевести доказательство Паскаля на современный язык введём соответствующую систему декартовых координат, обозначим «синус DI» через у, элемент дуги DD – через ds, дифференциал независимого переменного – через dх, радиус АВ – через r. Тогда равенство (1) можно записать так:

уds = rdх

И нтегрируя согласно содержанию теоремы Паскаля, получим:

уds = rdх. (2)

Более сложный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, сводится таким образом к более простому интегралу правой части, равному rx, а для целой четверти r².

Положим r = 1 и введём угол DAB =  ADI = . Тогда (рис. 10)

S = r = , у = DI = AD cos  = cos , х = sin .

Равенство (2) даёт:

Характеристики

Список файлов реферата