240-1630 (675869), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

(uv)’ = uv’ + vu’

так что uv’ = (uv)’ – vu’

Б еря неопределённые интегралы от обоих частей и учитывая, что uv’dх = uv – vu’dх, (1)

Если оба интеграла существуют.

П ользуясь дифференциалами предыдущую формулу можно написать в следующем виде:

udv = uv – vdu. (2)

Ф ормула (2) даёт возможность вычисления интеграла udv свести к вычислению интеграла vdu , который, быть может, берётся легче. Этот метод называется интегрированием по частям.

П римеры.

1) J = хе^хdх.

П оложим и = х, dи = dх, dv = е^хdх,

v = е^хdх = е^х

Следовательно,

J = хе^х – е^хdх = хе^х – е^х + С.

2 ) ln хdх .

Положим, u = ln х, dи = dх/х

dv = dх v = dх = х.

С ледовательно,

J = х ln х – dх = х ln х – х + С..

2.7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы.

Пусть интервал [а,в], на котором задана функция у = f(х), разбит точками деления х₁ х₂  …  х_{п – 1} на п частичных интервалов ₁ = [х₀,х₁], ₂ = [х₁,х₂], …, _n = [х_п–1,х_п], где а =х₀ , в = х_п, причём в каждом частичном интервале _i выбрана какая–либо точка _i:

х_i–1  _i  х_i (i = 1, 2, …, п). Пусть, далее, х_i – длина интервала _i, то есть,

х_i – х_i–1 = х_i (i = 1, 2, …, п),

а max х_i – наибольшее из чисел х_i.

Т ребуется найти предел суммы

1. f(₁) х₁ + f(₂) х₂ + … + f(_п) х_п =  f(_i) х_i,

когда длины х_i всех частичных интервалов _i стремятся к нулю (при этом с необходимостью число п этих интервалов будет стремиться к бесконечности). Другими словами, требуется найти предел этой суммы при max х_i 0, так как условие, что максимальная из длин частичных интервалов _i стремится к нулю, равносильно условию, что все х_i 0.

И так, требуется найти

lim  f(х_i) х_i.

Определение. Сумму (1) называют интегральной суммой.

О пределение. Функция f(х) называется интегрируемой на интервале [а,в], если существует конечный предел

lim  f(_i) х_i, (2)

не зависящий от того, каким образом интервал [а,в] делится на частичные интервалы и каким образом выбираются точки _i на этих частичных интервалах, лишь бы длина максимального из них стремилась к нулю. Этот предел называется определённым интегралом от функции f(х) на интервале [а,в] и обозначается символом

f(х)dх = lim  f(_i) х_i.

Для того чтобы не оставалось неясностей, сформулируем точно, как следует понимать предел (2).

О пределение. Число J называется пределом интегральной суммы  f(_i)х_i при max х_i 0, если для любого заданного   0 найдётся такое   0, что выполняется неравенство:

| f(_i)х_i – J | 

при любом выборе частных интервалов, ₁, ₂, …, _п и точек ₁, ₂, …, _п на этих интервалах, лишь бы только выполнялось требование max х_i 0, то есть лишь бы длина наибольшего (а значит, и всех) из частичных интервалов была меньше .

Из определения определённого интеграла отнюдь не следует, что любая функция интегрируема на любом интервале. Можно подобрать такие функции, для которых определённый интеграл не существует, то есть для которых интегральная сумма не стремится к определённому пределу. Существование определённого интеграла от функции, заданной на интервале [а,в], обеспечивает непрерывность этой функции на [а,в], поэтому непрерывность функции на [а,в] является достаточным условием её интегрируемости на этом интервале, то есть

Теорема 1. Если функция f(х) непрерывна на замкнутом интервале [а,в], то она интегрируема на этом интервале, то есть имеет определённый интеграл

f(х)dх.

Иногда на практике приходится интегрировать и разрывные функции. Приведём несколько более широкое достаточное условие существования интеграла.

Теорема 2. Если на интервале [а,в] функция ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [а,в].

2.8. Основные свойства определённого интеграла.

Т еорема 1. Пусть с – промежуточная точка интервала [а,в] (а  с  в). Тогда имеет место равенство

f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,

если все эти три интеграла существуют.

Д оказательство: Разобьём [а,в] на п частичных интервалов [а,х₁], [х₁,х₂], …, [х_п–1, в] длиной соответственно х₁, х₂, …, х_п так, чтобы точка с была точкой деления. Пусть, например, х_т = с (т  п). Тогда интегральная сумма

 f(_i)х_i

соответствующая интервалу [а,в], разобьётся на две суммы:

 f(_i)х_i =  f(_i)х_i =  f(_i)х_i

соответствующие интервалам [а,с] и [с,в].

Переходя к пределу при неопределённом уменьшении длины максимального частного интервала х_i, то есть, при max х_i 0, будем иметь

f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,

Т еорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, то есть

k f(х)dх = k f(х)dх.

Д оказательство: По определению:

k f(х)dх = lim [k f(₁)х₁ + k f(₂)х₂ + … + k f(_п)х_п] =

= lim  k f(_i)х_i.

Н о так как, согласно одному из свойств предела,

lim  k f(_i)х_i = k lim  f(_i)х_i,

и так как, по определению, lim  f(_i)х_i = f(х)dх

т о k f(х)dх = k lim  f(_i)х_i = k f(х)dх

Теорема 3. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов от этих функций.

Д оказательство: Докажем, например, что

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

в самом деле имеем:

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = lim  [ f₁(_i)dх + f₂(_i)dх – f₃(_i)]х_i =

= lim  f₁(_i)х_i + lim  f₂(_i)х_i – lim  f₃(_i)х_i =

= f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

Теорема 3. (о среднем значении определённого интеграла)

Е сли функция f(х) непрерывна на [а,в], то внутри него найдётся такая точка С.

f(х)dх = (в–а) f(с)

Доказательство: Так как функция f(х) непрерывна на [а,в], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений М и т на [а,в]. произведём обычное разбиение интервала [а,в], на п частичных интервалов _i длиной х_i = х f(_i)  т – х_i–1 (i = 1, …, п).

Так как f(_i)  т при любом _i, то

f(_i)х_i  тх_i

о ткуда  f(_i)х_i  т  х_i

и ли  f(_i)х_i  т(в – а)

так как  х_i = х₁+х₂ + … + х_п = в – а.

Так как, далее, f(_i)  т, при любом _i, то

f(_i)х_i  Мх_i

а потому  f(_i)х_i  М х_i,

то есть,  f(_i)х_i  М(в – а).

Т аким образом, имеем

т(в – а)   f(_i)х_i  М(в – а).

П ереходя к пределу при max х_i 0, получим неравенства

т(в – а)  f(х)dх  М(в – а)

f(х)dх

(в – а)

И з этих неравенств и теореме о непрерывной функции на [а,в], принимающей в этом [а,в] все промежуточные значения между своими наибольшими и наименьшими значениями, следует, что отношение

f(х)dх

(в – а)

можно принять за значение f(с) функции f(х) в некоторой промежуточной точке с интервала [а,в] (т  f(с) М).

Т аким образом,

( f(х)dх) / (в – а) = f(с)

или

f(х)dх = (в – а)f(с)

2 .9. Геометрический смысл определённого интеграла.

И звестно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной кривой у = f(х), снизу – интервалом [а,в] оси Ох (а  х  в) и с боковых сторон – прямыми х = а, х = в, равна

S = lim  f(_i)х_i

Н о, по определению,

f(х)dх = lim  f(_i)х_i

с ледовательно,

S = f(х)dх

Таким образом, в случае, когда f(х)  0, то есть, когда график функции у = f(х) располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.

Если же f(х) = 0 при а  х  в, то есть если кривая располагается под осью Ох, то сумма

 f(_i)х_i

р
авна сумме площадей криволинейной трапеции аАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)

Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dх численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом [а,в] оси Ох (а  х  в), непрерывной кривой у = f(х) и отрезками прямых х = а, х = в, равными f(а) и f(в).

2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а,х], где а  х  в, то есть, для любого х  [а,в], существует интеграл

F(х) = f(t)dt (V)

Если f(t)0  t[а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)

О
пределение. Функция F определённая соотношением (V) на [а,в] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а,в]. А именно имеет место следующая теорема.

Теорема. (Ньютона–Лейбница)

Производная определённого интеграла от непрерывной на [а,в] функции f , рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования.

F’(х) = ( f(t)dt) = f(х)₁, х  [а,в] .

Д оказательство: Пусть х  [а,в], х + х  [а,в]; тогда в силу теоремы 1 пункта 2.12. получим

F(х +х) = f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt

Характеристики

Список файлов реферата