Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Н айдём соответствующее приращение F функции F. Используя равенства (V) и теорему 4 пункта 2.12. имеем

F = F(х +х) – F(х) = f(t)dt = f(с)х, где

с  [х, х +х]

В ычислим производную функции (V):

F’(х) = lim = lim = lim f(с)

Если х 0, то х + х 0 и с  х, так как с  [х, х+х]. Тогда в силу непрерывности f получим

F’(х) = lim f(с) = f(х)

Что и требовалось установить.

Легко вытекает следующее утверждение: всякая непрерывная на [а,в] функция имеет на этом отрезке первообразную при этом одной из первообразных является интеграл (V).

Д ействительно, пусть функция f непрерывна на [а,в]; тогда она интегрируема на любом на [а,х], где х  [а,в], то есть, существует интеграл (V), который и является первообразной функцией для f . Следовательно, неопределённый интеграл от непрерывной на [а,в] функции f можно записать в виде

f(х)dх = f(t)dt + С, х  [а,в]

где С – произвольная постоянная.

2.11. Формула Ньютона–Лейбница.

Теорема. Если Ф – первообразная для непрерывной на [а,в] функции f, то определённый интеграл от функции f вычисляется по формуле

f(х)dх = Ф(в) – Ф(а).

Д оказательство: Пусть Ф некоторая первообразная для функции f . В силу предыдущей теоремы функция (V) также является первообразной для функции f . Поскольку две первообразные Ф и F отличаются друг от друга на некоторую постоянную, имеем

f(х)dх = Ф(х) + С (1)

П оложим в последнем равенстве х = а. Так как

f(х)dх = 0,

то Ф(а) + С = 0, откуда С = – Ф(а)

П одставляя найденное значение С в соотношение (1), имеем

f(х)dх = Ф(х) – Ф(а).

Полагая в последнем соотношении х = в и обозначая переменную t через х, окончательно получим равенство указанное в теореме.

Ф ормулу Ньютона–Лейбница в сокращённом виде принято записывать так:

f(х)dх = Ф(х)| = Ф(в) – Ф(а)

П римеры.

1. s in хdх = – cos х| = – cos 2 + cos 0 = 0.

2. = ln |x + x²+1| = ln (1+2) – ln 1 = ln (1+2)

2.4.Замены переменных в определённых интегралах.

П усть требуется в определённом интеграле

f(х)dх

п рименить подстановку х = (t). Тогда имеет место следующая формула замены переменных в определённом интеграле:

f(х)dх = f [(t)]’(t)dt,

где () = а, () = в.

Эту формулу мы докажем при условиях:

1. Функции (t) и ’(t) непрерывны в [, ].

2. Функция f(х) определена и непрерывна для всех значений, которые функция х = (t) принимает в [, ].

3. () = а, () = в.

4. Д оказательство: Обозначим через М и т наибольшее и наименьшее значения функции х = (t) в [, ]. Пусть

F(х) = f(х)dх, т  х  М.

П о теореме о подстановке в неопределённых интегралах для всех t из [, ] справедливо равенство

F[(t)] = f[(t)]’(t)dt.

О тсюда f[(t)]’(t)dt = F[()] – F[()] = F(в) – F(а)

Так как f(х)dх = F(в) – F(а)

то из сравнения последних двух равенств получим доказываемую формулу.

П ример. Вычислить интеграл

J = х 1+х² dх

П одставим 1+х² = t, то есть, х = t² –1 . Имеем: t = 1, при х =0, t = 2, при х = 1. Так как dх = tdt/ t² –1 , то

J = t²dt = t³/3| = (22 – 1)/3.

2.5.Интегрирование по частям.

Пусть функции f(х) и (х) непрерывны вместе со своими производными в интервале [а,в]. Пусть, далее,

F(х) = f(х) (х).

Тогда F’(х) = f(х) ’(х) f’(х) (х).

Т ак как F’(х)dх = F(х)| ,

т о [f(х) ’(х) f’(х) (х)]dх = f(х) (х)| ,

откуда f(х) ’(х)dх = f(х) (х)| – f’(х) (х)dх

Примеры.

1. В ычислить интеграл.

х cos х dх

П оложив f(х) = х, (х) = sin х получим:

х cos х dх = х sin х| – sin х dх = –2

1. В ычислить интеграл

ln х dх.

Положив f(х) = ln х, (х) = х получим:

ln х dх = [х ln х] – х(dх/х) =

= [х ln х] – [х] = 2 ln2 – 1 = ln4 – 1

3.Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.

В математике XVII в. самым большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших сотрудников и учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований, быстро изменивших всё лицо математики и поднявших её роль в системе естественно научных знаний человечества.

Однако появление анализа бесконечно малых не было делом рук одного или нескольких учёных, их гениальной догадки. Оно в действительности было завершением длительного процесса, внутриматематическая сущность которого состояла в накоплении и выделении элементов дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов.

Для создания исчисления бесконечно малых внутри математики XVII в. сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры и вычислительной техники; введение в математику переменной величины и координатного метода; усвоение инфинитезимальных идей древних, особенно Архимеда; накопление методов решения задач на вычисление квадратур, кубатур, определение центров тяжести, нахождение касательных, экстремалей и т.д.

3.1.Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда.

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объёмы произвольных тем. Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными предвосхищена в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.

Следует особо упомянуть об одном интегральном методе Архимеда, примененном в следующих его произведениях:

«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах». В последнем произведении рассмотрены объёмы сегментов, получаемых при сечении плоскостью тел, образованных вращением вокруг оси эллипса, параболы или гиперболы.

В терминологии Архимеда «прямоугольный коноид» – это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» – одна полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.

В XIX предложении своего произведения «О коноидах и сфероидах» Архимед доказывает следующую лемму: «Если дан сегмент какого–нибудь из коноидов, отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого–нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно также отсечённый, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что описанная фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной телесной величины.»

Эта лемма является ярким примером метода интегральных сумм, существо которого состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объёмы которых можно вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел – меньше объёма тела вращения. Теперь остаётся выбрать аппроксимирующее сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объёмов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков.

А рхимед фактически вводит понятие интегральных сумм, верхних V_п и нижних v_п и находит объём V полуэллипсоида, как общий предел этих сумм при п  . Так же он определяет объём сегментов параболоида и гиперболоида вращения. Выражаясь современным языком Архимед определил интегралы:

хdх = а²/2, х²dх = а³/3, (х2 + вх)dх = а³/3 + а²в­/2

В своём произведении «О шаре и цилиндре» он определил интегралы:

1/2 sin  d = 1, sin  d = – cos  + 1.

Конечно у Архимеда нет ещё общих понятий предела и интеграла, нет и общего алгоритма интегрального исчисления. Приведённые и другие его выкладки всегда связаны с решением конкретных геометрических задач без указаний на то, что в основе всех их лежит один и тот же общий приём арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигуры. Несмотря на то, что квадратура параболы и кубатура сфероида сводятся к определению одного и того же интеграла, Архимед пользовался для решения этих задач различными методами.

В
виде примера метода интегральных сумм приведём решение Архимедом задачи вычисления объёма эллипсоида вращения в сочинении «О коноидах и сфероидах».

Итак, дано тело вращения АВС и телесная (объёмная) величина Е0. Делим ВО на п равных частей и строим описанные и вписанные цилиндры, суммы объёмов которых, соответственно обозначим, V_on и V_вn. Их разность равна объёму цилиндрика АА¹, то есть, а²(в/п), который подбором достаточно большего п может быть сделан сколь угодно малым.

Теперь предположим, что на данном рисунке изображён сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычислить его объём. В таком случае

V_оп = hа² + h(х₁)² + h(х₂)² +h(х_п-1)² =

Характеристики

Список файлов реферата