COLOR_mf (675850), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Замечание 4.

Если , т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 , .

Наоборот, если , то

, т.е. определяется выражением (17), в котором .

Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f₁,.…..,f_N попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A₁,...,A_N попарно различны. Тогда форма в широком смысле изображения (17) есть множество решений уравнения

, , (27)

где , f_i - собственный вектор оператора Ф_i: , отвечающий максимальному собственному значению _i, i=1,...,N . В данном случае , если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения (17).

Заданы векторы цвета j₁,..., j_q, требуется определить разбиение A₁,..., A_q, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета j₁,..., j_q и оптимальные распределения яркостей ¹⁰.

Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения

. (28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого

, (29)

и достигается на

, (30)

то, как нетрудно убедиться,

, (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки xÎX, в которых выполняется равенство могут быть произвольно отнесены к одному из множеств A_i или A_j.

Пусть - разбиение , в котором

(32)

а F: R_n-> R_n оператор, определенный условием

(33)

Тогда решение задачи (28) можно представить в виде

, (34)

где - индикаторная функция множества A_i (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий в по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности

(35)

имеет решение

(36)

Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид

, (37)

где - индикаторная функция множества

, (38)

В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F⁺: R_n-> R_n, действующий согласно формуле

(39)

где

, так что ,i=1,...q. (40)

Подытожим сказанное.

Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в приближения изображения изображениями на искомых множествах A₁,...,A_q разбиения X заданные цветами j₁,..., j_q соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A₁,...,A_q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) - относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.

Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов j₁,..., j_q на некоторых множествах положительной меры A₁,...,A_q разбиение поля зрения можно назвать оператор (34), формой такого изображения является оператор F⁺ (37). Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F⁺g(×)=g(×), те из них, у которых m(A_i)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму. n

В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения , заданного распределением цвета , при произвольном (физичном) распределении яркости, например, . Для определения формы рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения такими изображениями

, (41)

Теорема 5. Решение задачи (41) дается равенством

, (42)

в котором , где . Невязка приближения

, (43)

( !) n

Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета , назовем выпуклый, замкнутый конус изображений

или - проектор на .

Всякое изображение g(×), распределение цвета которого есть j(×) и только такое изображение содержится в и является неподвижной точкой оператора

: g(×) = g(×). (#)

Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j(×), не представлены на изображении f(×) = f(×)j(×) в той области поля зрения, в которой яркость f(x)=0, xÎX, будем считать, что - форма любого изображения f(x) = f(x)j(x), f(x)>0, xÎX(modm), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f(×).

Замечание 5. Пусть j₁,..., j_N - исходный набор цветов, , A₁,...,A_N - соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и

, (34*)

- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)

, (24*)

если A₁,...,A_N - исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A₁,...,A_N - заданное в теореме 3 разбиение X и f₁,...,f_N - собственные векторы операторов Ф₁,...,Ф_N (23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f₁,...,f_N и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить j_i как цвет f_i в (24), i=1,...,N.

Проверка этого замечания не представляет затруднений.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N.

Разумеется, условие постоянства цвета на множествах A_i, i=1,...,N, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению , так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого A_i, i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений

(17*)

в котором в (3).

Поскольку в задаче наилучшего приближения f(×) изображениями этого класса предстоит найти , векторы при любом i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив

, (*)

из условия минимума невязки по . После этого для каждого i=1,...,N векторы должны быть определены из условия

(**)

при дополнительном условии ортогональности

. Решение этой задачи дается в следующей лемме

Лемма 5. Пусть ортогональные собственные векторы оператора Ф_i (23), упорядоченные по убыванию собственных значений:

.

Тогда решение задачи (**) дается равенствами .

Доказательство. Заметим, что, поскольку Ф_i - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в R_n. Пусть P_i - ортогонально проецирует в R_n на линейную оболочку собственных векторов и

[P_i Ф_i P_i] - сужение оператора P_i Ф_i P_i на . Тогда левая часть (*) равна следу оператора [P_i Ф_i P_i]

, где - j-ое собственное значение оператора (см., например, [10]). Пусть . Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в лемме. þ

Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.

Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(×) изображениями (17*) имеет вид

,

Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи

.

Невязка наилучшего приближения равна

. n

Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы , и надлежит определить измеримое разбиение и функции , как решение задачи

(30)

При любом разбиении минимум в (30) по достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что

(31)

где точки , в которых выполняется равенство могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено звездочкой в (31).

Таким образом доказана

Теорема 6. Пусть заданные векторы R_n. Решением задачи (30) является изображение

,

где ортогональный проектор определен равенством (25), а - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка наилучшего приближения равна

. n

Замечание 5. Так как при

,

то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде

, (32)

показывающем, что множество в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения , не изменяющего его цвет.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при котором должны быть найдены и c_i⁰ , i=1,...,N, такие, что

.

Теорема 7. Для заданного изображения f(×) определим множества равенствами (32), оператор П - равенством (24), - равенствами (25). Тогда ,

определено равенством (32), в котором - собственный вектор оператора Ф_i (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) , наконец, будет дано равенством (20), в котором , где - собственный вектор оператора , отвечающий наибольшему собственному значению ; наконец,

. n

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании : Для изображения f(×) зададим и по теореме 5 найдем и , затем по теореме 3, используя найдем и . После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по найдем и и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность , k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности .

Характеристики

Список файлов реферата