181121 (628925), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Найдем постоянную С:

Y(0)=Y₀

тогда

;

Подставим С:

По таблице при t = 0, Y(0) = 0, тогда:

, откуда и получим:

Где установившееся значение, в нашем случае Y_уст = Y_max.

Найдем постоянную времени Т методом наименьших квадратов. Преобразуем выражение:

Прологарифмируем выражение:

Обозначим

Рассчитаем для каждого момента времени t_i и занесем в таблицу 6.

Таблица 6 - Значения

Далее составляем систему алгебраических уравнений:

В систему не вошло уравнение для момента времени t₉, так как ln0 не определен, и для момента времени t=0, так как в них . Составляем матричное уравнение для:

Составим матрицы:

Находим произведение :

Находим произведение :

Окончательно найдем T:

Рисунок 3 – График динамической модели объекта 1-го порядка без запаздывания

2.2 Динамическая модель объекта 1-го порядка с запаздыванием

Расчёт вручную

Системой с запаздыванием называется система, в которой имеется звено, обладающее таким свойством, что реакция на его выходе отстает по времени на некоторую величину .

Объект первого порядка с запаздыванием можно описать уравнением вида:

Запишем решение дифференциального уравнения:

где

Найдем постоянную времени Т и время запаздывания методом наименьших квадратов. Преобразуем выражение:

Прологарифмируем выражение :

где , значение (таблица 6).

Составим систему алгебраических уравнений первого порядка, причем число уравнений равно числу состояний объекта в эксперименте, кроме точек , так как в них , а также точки и , так как в этой точке не существует:

Составим матричное уравнение для решения системы:

где

.

Составим матрицы L и t:

Найдем произведение :

Найдем произведение :

Найдем главный определитель:

Находим вспомогательные определители и , подставляя матрицу поочередно в первый и второй столбцы матрицы соответственно:

Находим Т и :

Расчёт в системе MathCAD

- решение системы линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов посредством обращения матрицы;

- время запаздывания;

- постоянная времени;

Рисунок 4 – График динамической модели объекта 1-го порядка с запаздыванием

Таблицы исходных данных и результатов:

2.3 Динамическая модель объекта 2-го порядка без запаздывания

Рисунок 5 – График динамической модели объекта 2-го порядка без запаздывания

Таблицы исходных данных и результатов:

2.4 Динамическая модель объекта 2-го порядка с запаздыванием

- длина вектора данных;

- задание границ адекватности исходных данных предполагаемой модели по значениям y1;

- нелинейное уравнение;

- решение нелинейного уравнения;

- вектор правых частей;

- вектор коэффициентов системы уравнений;

- решение системы линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов посредством обращения матрицы;

- время запаздывания

- постоянная времени;

Рисунок 6 – График динамической модели объекта 2-го порядка с запаздыванием

Таблицы исходных данных и результатов:

Таким образом, в результате расчета из четырёх моделей объекта выбрана модель второго порядка c запаздыванием, так как она наиболее точно отражает протекание переходных процессов и обеспечивает заданное качество регулирования. Это видно из расчетов, у этой модели сумма квадратов отклонений имеет наименьшее значение, чем у остальных объектов и также это видно из кривой переходного процесса.

3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА

3.1 Приведение к нормальной системе дифференциальных уравнений

Пусть имеем передаточную функцию в виде степенного полинома, который необходимо представить в обычной форме. В таком виде обычно формируется математическая модель объекта по результатам исследования. Передаточная функция представляет собой отношение выходной величины к входной величине, и она выбирается по минимальному среднеквадратическому отклонению от экспериментальных данных динамических характеристик. В нашем случае это передаточная функция динамической характеристики второго порядка с запаздыванием:

Где:

Разложим звено запаздывания в степенной ряд в виде отношения полиномов:

Тогда перемножая, получим:

Получили дифференциальное уравнение. Приведем к нормальной системе дифференциальных уравнений методом формального интегрирования.

Получили нормальную систему дифференциальных уравнений, разрешённую относительно первой производной:

Неизвестную величину найдём из соотношения:

Где k коэффициент передачи при 50% мощности от номинального режима;

максимальное значение экспериментальных данных.

Подставив в полученную систему получим:

В результате решения получается матрица чисел, содержащая столбец точек независимой переменной (в нашем случае - времени) и столбцы соответствующих значений функций, определенных системой уравнений и вычисленных в этих точках.

3.2 Решение нормальной системы уравнений методом Рунге – Кутта, с постоянным шагом

- Вектор начальных условий;

- Количество точек;

- Вектор правых частей исходной системы дифференциальных уравнений в нормальной форме;

- Обращение к процедуре rkfixed

Выходная величина, ед.

Время, с

Рисунок 7 - График переходного процесса

На рисунке: – исходные данные; Y(t1) – полином второго порядка с запаздыванием.

4 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА

4.1 Частотные характеристики

4.1.1 Расчёт частотных характеристик вручную

Для оценки установившихся режимов оказалось более удобным рассматривать поведение элементов и систем при воздействии, являющихся периодическими функциями времени. Частотные характеристики всякого объекта связаны с его передаточной функцией, которая имеет вид:

Где коэффициент передачи при 50 %;

постоянная времени;

время запаздывания.

В выражении для объекта второго порядка, заменив на мнимую величину , получим комплексную функцию , которую называют частотной функцией и имеет следующий вид:

где частота.

Экспоненту преобразуем по формулам Эйлера, получим:

Преобразовав выражение, получим выражение:

Обозначим в формуле:

вещественная частотная характеристика системы;

мнимая частотная характеристика системы.

Подставив и в уравнение:

На основании равенств составим соотношения, связывающие между собой частотные характеристики:

где амплитудно-частотная характеристика;

фазо-частотная характеристика;

логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.

Пусть , тогда действительная составляющая равна:

Мнимая составляющая равна:

Амплитуда колебаний равна:

Фазовая составляющая равна:

Результаты, полученные при других частотах, сведены в таблицу 7.

Таблица 7 – Результаты вычислений

4.1.2 Расчёт частотных характеристик в системе MathCAD

-диапазон изменения частоты;

-замена p на комплексную переменную i

-передаточная функция объекта;

-действительная составляющая;

-мнимая составляющая;

-АЧХ;

-ЛАЧХ;

-ФЧХ.

Рисунок 8.1 – АФХ объекта

Характеристики

Список файлов курсовой работы