86225 (612689)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

« » 2007 г.

Об одной проблеме теории

Формации конечных групп

Курсовая работа

Исполнитель:

студент группы М-51 А.И. Рябченко

Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов

Гомель 2007

Оглавление

Введение

Вспомогательные факты

Основные результаты

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

Введение

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторые определения и обозначения работы [4].

Пусть – некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел; – дополнение к во множестве всех простых чисел. Формация называется -насыщенной, если ей принадлежит всякая группа , удовлетворяющая условию , где . Всякая формация считается 0-кратно -насыщенной. При формация называется -кратно -насыщенной [4], если , где все непустые значения -локального спутника являются -кратно -насыщенными формациями.

Для любых двух -кратно -насыщенных формаций и полагают , а , где – пересечение всех -кратно -насыщенных формаций, содержащих . Через обозначают решетку -кратно -насыщенных формаций, заключенных между и . Длину решетки обозначают и называют -дефектом формации . -Кратно -насыщенную формацию называют -приводимой, если она может быть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих собственных -кратно -насыщенных подформаций в решетке . В противном случае формацию называют -неприводимой.

Группа называют критической, если – группа минимального порядка из для некоторых формаций и . Критическая группа называется -базисной, если у формации, ею порожденной, имеется лишь единственная максимальная подформация , причем .

В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым была поставлена задача описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта (вопрос 5, [4]). Полученные нами теоремы 1–3 завершают описание -кратно -насыщенных формаций такого типа. В частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют классифицировать -приводимые -кратно -насыщенные формации, имеющие -дефект , а в теореме 3 получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые формации -дефекта 2 ( ). Отметим, что при решение данной задачи получено в работе [5].

Вспомогательные факты

Следствием теоремы 3.4.3 работы [6] является

Лемма 1. Пусть – -кратно -насыщенная ненильпотентная формация. Тогда в имеется по крайней мере одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация.

Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 20.4 [2].

Лемма 2. Пусть , и – -кратно -насыщенные формации, причем . Тогда если и соответственно -дефекты формаций и и , то .

Лемма 3 [4]. Для всех решетка модулярна.

Аналогично лемме 14 [7] доказывается

Лемма 4. Пусть , где – некоторая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации . Тогда в формации не существует минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных формаций, отличных от .

Лемма 5. Пусть , и – -насыщенная формации и . Тогда .

Доказательство аналогично лемме 20.3 [2].

Лемма 6 [8]. При всякая -кратно насыщенная формация, имеющая -дефект 2, приводима.

Лемма 7 [4]. Пусть – -кратно -насыщенная формация . Тогда спутник является -значным.

Лемма 8 [9]. Пусть – такая полная решетка формаций, что . Пусть – -локальная формация с каноническим -локальным спутником , – -локальная формация с минимальным -локальным -значным спутником . Тогда в том и только в том случае – -критическая формация, когда , где – такая монолитическая группа с монолитом , что либо , и – -критическая формация для всех , либо и – -критическая формация.

Лемма 9 [4]. Пусть , где , и пусть – минимальный -значный спутник формации . Тогда справедливы следующие утверждения: 1) ; 2) для всех ; 3) , спутник является -значным и – некоторый фиксированный элемент из , то , где для всех , и, кроме того, ; 4) , где и для всех .

Лемма 10 [4]. Пусть такой внутренний -кратно -локальный спутник формации , что , . Тогда , где .

Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда является минимальной -кратно -насыщенной ненильпотентной формацией, когда , где – такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо и выполняется одно из следующих условий:

1) – группа Шмидта с , где – абелева -группа, и – простое число;

2) – неабелева -группа, , где , причем, если , то и – простая неабелева группа.

Лемма 12 [6]. Пусть – монолитическая группа с неабелевым монолитом . Тогда если простое число делит порядок группы , то .

Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы -корадикал не имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда если – монолитическая группа из , то .

Лемма 14 [2, с.168]. Пусть и – формации, причем – локальна и – группа минимального порядка из . Тогда монолитична, ее монолит совпадает с и если – -группа, то .

Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа и ( – некоторое простое число), то существует точный неприводимый -модуль, где – поле из элементов.

Лемма 16 [4]. Пусть – -насыщенная формация и – ее -локальный спутник. Если , то .

Лемма 17 [4]. Пусть и – минимальные -локальные -значные спутники формаций и соответственно. Тогда в том и только в том случае, когда .

Лемма 18 [10]. Пусть ( ), где – такая монолитическая группа с неабелевым монолитом , что и . Тогда имеет единственную максимальную -кратно -насыщенную подформацию , причем .

Основные результаты

Теорема 1. Пусть – -кратно -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -дефект формации равен 1, когда , где – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом: 1) всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из входит в ; 2) всякая -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид

Доказательство. Необходимость. Пусть -дефект формации равен 1. Так как не является нильпотентной формацией, то по лемме 1 в входит некоторая минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . По условию – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Значит, .

Достаточность. Пусть , где – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . Понятно, что . Пусть -дефекты -кратно -насыщенных формаций , и равны соответственно , и . Поскольку – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , то . Так как – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, то ее -дефект равен 1. В силу леммы 2 имеет место неравенство . Если , то – нильпотентная формация, что противоречит условию . Таким образом, -дефект формации равен 1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как – максимальная -кратно -насыщенная подформация в , то, в силу леммы 3, имеет место решеточный изоморфизм

Следовательно, – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Тогда, поскольку , то всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из входит в .

Докажем утверждение 2). Используя лемму 4, получаем, что в формации нет минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций, отличных от .

Пусть теперь – произвольная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из . Тогда в силу уже доказанного и леммы 4 получаем, что . Следовательно, применяя лемму 3, получаем . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть – -приводимая формация, . Тогда и только тогда -дефект формации равен 2, когда удовлетворяет одному из следующих условий: 1) , где , и – различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации; 2) , где , – -неприводимая формация -дефекта 2, , причем если , то .

Доказательство. Заметим, что при , справедливость утверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать, что .

Необходимость. Пусть -дефект формации равен 2, – такая максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , что -дефект формации равен 1. По теореме 1 получаем , где – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, а . Если в формации имеется еще одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация , отличная от , то, в силу леммы 4, . Значит,

и выполнено условие 1).

Пусть теперь в формации нет отличных от минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций. Поскольку – -приводимая формация, то в найдется такая группа , что . Понятно, что . Ввиду леммы 5 -дефект формации меньше или равен 2. Поскольку и -дефект формации равен 1, то -дефект формации не равен 0. Допустим, что -дефект формации равен 1. Тогда по теореме 1 и предположению о единственности получаем, что , где . Значит, где . Но тогда в силу леммы 2 -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому -дефект формации равен 2. Тогда , так как иначе , что противоречит максимальности формации в формации . Таким образом,

Предположим, что – -неприводимая формация. Заметим, что если и – -насыщенная формация, то является насыщенной формацией. Действительно, из -насыщенности формации получаем, что для любой группы из условия следует, что . Но . Значит, . Тогда получаем, что из условия следует, что . Таким образом, является насыщенной формацией. Ввиду леммы 6 всякая -кратно насыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае – приводимая -кратно насыщенная формация. Противоречие. Поэтому . Тогда получаем, что формация удовлетворяет условию 2).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы