86225 (612689), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть теперь – -приводимая формация. Воспользуемся индукцией по числу разрешимых -кратно -насыщенных подформаций однопорожденной формации .

Обозначим через максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую -дефект, равный 1. Так как – -приводимая формация, то в существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации в формации справедливо . По теореме 1 и предположению единственности получаем, что , где – некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации .

Тогда . Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для , получаем, что либо формация (где ) удовлетворяет условию 2), и необходимость доказана, либо формация является -приводимой формацией -дефекта 2. Понятно, что , так как иначе , что противоречит максимальности формации в .

Поскольку – собственная -кратно -насыщенная подформация формации , то число разрешимых подформаций формации меньше чем у . Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной формации имеется лишь конечное множество разрешимых -кратно -насыщенных подформаций. Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к ситуации, когда либо формация (где ) удовлетворяет условию 2) и необходимость доказана, либо , где – -приводимая формация -дефекта 2, – наименьшая неединичная разрешимая подформация формации , такая что .

Обозначим через максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую нильпотентный -дефект, равный 1. Так как – -приводимая формация, то в существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации в формации справедливо . По теореме 1 и предположению единственности получаем, что , где – некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации . Тогда

Но по предположению индукции. Следовательно, формация не может быть -приводимой формацией. Значит, , где , – -неприводимая формация -дефекта 2. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть , где , и – различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации. Пусть , , и -дефекты формаций , , и соответственно. Тогда по лемме 2 -дефект формации не превосходит . С другой стороны по лемме 5 -дефект формации больше либо равен . Таким образом, -дефект формации равен 2.

Аналогично рассматривается случай, когда , где , – -неприводимая формация -дефекта 2. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть – -кратно -насыщенная формация . Тогда и только тогда формации ­ – -неприводимая формация -дефекта 2, когда , где – такая монолитическая группа с цоколем , что выполняется одно из следующих условий:

1) , где – -группа, , а – группа, удовлетворяющая одному из следующих условий:

1.1) циклическая примарная группа порядка ;

1.2) неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты ;

1.3) монолитическая группа с цоколем и – -группа;

2) – неабелева группа, , а группа удовлетворяет одному из следующих условий:

2.1) -группа, где ;

2.2) элементарная абелева -группа, ;

2.3) подпрямое произведение групп изоморфных , где – такая монолитическая группа с цоколем , что – неабелева группа, ;

3) – -группа, формация имеет -дефект 1, – -базисная группа, где , , а – такая монолитическая группа с цоколем , что выполнено одно из следующих условий:

3.1) – группа Шмидта с , где – абелева -группа, и – простое число, ;

3.2) – неабелева группа, причем ;

3.3) – -группа.

Доказательство. Необходимость. Пусть – -неприводимая формация -дефекта 2, – максимальная -кратно -насыщенная подформация формации с каноническим спутником . Заметим, что ввиду леммы 7 спутник является -кратно -локальным. Тогда является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией. Пусть и – минимальные -кратно -локальные спутники формаций и соответственно. В силу замечания 2 [4] имеем , для всех .

Применяя лемму 8, получим, что , где – такая монолитическая группа с цоколем , что либо (, и – -критическая формация для всех , либо и – -критическая формация. По теореме 1 , где – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации , .

Предположим, что . Тогда найдется простое число . Пусть – группа порядка . Тогда . Так как – максимальная -кратно -насыщенная подформация формации и , то . Но формация является -неприводимой по условию теоремы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть и – минимальные -кратно -локальные спутники формаций и соответственно. По лемме 9 формации и имеют такие внутренние -кратно -локальные спутники и , принимающие соответственно значения , при , , при , , при , и , при , , при , , при . Ввиду леммы 10 справедливо равенство .

В силу леммы 11 , где – такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо и выполняется одно из следующих условий:

(1) –группа Шмидта с , где – абелева -группа, и – простое число;

(2) – неабелева -группа , где .

Заметим, что если , то любая -насыщенная подформация из является насыщенной. Следовательно, любая -кратно -насыщенная подформация формации является -кратно насыщенной. По лемме 6 при всякая -кратно насыщенная формация с -дефектом 2 приводима. Поэтому при формация не может быть -неприводимой формацией, что противоречит условию. Таким образом, .

Допустим, что – неабелев цоколь группы . Пусть и . Тогда по лемме 12 имеем . Значит,

Пусть для формации выполнено условие (1). Предположим, что . Так как , то имеем . Тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Значит, , и -дефект формации равен 1 по лемме 11. Противоречие. Поэтому . Используя лемму 9, имеем

.

Следовательно, .

Покажем, что . Действительно, если , то найдется такое , что . Поскольку , то . Тогда . Так как делит порядок , то по лемме 12 имеем . Тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Поскольку и , то . Так как при этом и , то . Но . Противоречие. Поэтому .

По лемме 9 имеем Следовательно, и является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией.

Ясно также, что , поскольку в противном случае -дефект формации равен 1 в силу леммы 11.

Если , то . Значит, является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией. Поэтому . Значит, , и формация удовлетворяет условию 2.1) теоремы.

Если , то . Тогда . Так как , то , т.е. является элементарной абелевой -группой, и формация удовлетворяет условию 2.2) теоремы.

Пусть для формации выполнено условие (2). Покажем, что . Предположим, что существует . Тогда . Значит, – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Последнее невозможно, так как . Поэтому . Но . Следовательно, .

Ввиду леммы 12, . Так как , то – минимальная не -формация. Значит, . Но, как нетрудно показать, . Если , то по лемме 11 -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, и . Но тогда Так как при этом группа является монолитической группой с неабелевым цоколем , то применяя лемму 13 получим, что – подпрямое произведение групп изоморфных группе . Таким образом, группа удовлетворяет условию 2.3) теоремы.

Пусть теперь – такая формация, что – монолитическая группа с цоколем , . Так как , то . Но тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Значит, и по лемме 11 получаем, что -дефект формации равен 1. Противоречие. Таким образом, данный случай невозможен.

Пусть – абелева -группа, . Тогда по лемме 14 имеем . Пусть формация удовлетворяет условию (1).

Предположим, что . Тогда . Значит, – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть – группа минимального порядка из . Тогда является монолитической группой с цоколем . Ясно, что и . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Поскольку и формация разрешима, то – абелева -группа для некоторого простого числа . Но . Если , то группа нильпотентна. Поскольку , то – группа простого порядка . Но тогда по лемме 11 получаем, что -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому . Так как при этом , то , что невозможно. Поэтому .

Но тогда и – минимальная -кратно -насыщенная не -формация.

Рассмотрим группу . Тогда является монолитической группой с цоколем . Поскольку и формация разрешима, то – абелева -группа для некоторого простого числа . Ясно, что . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Но . Значит, . Но – монолитическая группа. Значит, – -группа. Если , то , что невозможно. Значит, . Если , то по лемме 11 -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, . Поскольку , то . Таким образом, и . Тогда – минимальная не -формация. Поскольку группа нильпотентна, то любая собственная подгруппа из принадлежит . Таким образом, – минимальная не -группа. Так как при этом – -группа, то либо циклическая примарная группа порядка , либо неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты . Но тогда группа удовлетворяет условию 1.1) или 1.2) теоремы.

Характеристики

Список файлов курсовой работы