Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пусть для формации выполнено условие (2). Допустим, что . Тогда . Значит, – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Поскольку , то . Так как при этом , то . Если , то , что невозможно. Значит, . Но . Следовательно, . Противоречие. Таким образом, .

Тогда и – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Выберем в группу минимального порядка. Тогда – монолитическая группа с цоколем и . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Предположим, что – неабелев цоколь группы . Ввиду того, что и

то . Следовательно, по лемме 13 имеем . Поскольку и , то группа изоморфна группе . Но тогда . Однако . Поэтому и -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, – абелева -группа, для некоторого простого числа . Допустим, что . Пусть – группа порядка . Тогда . Пусть – точный неприводимый -модуль и . Применяя лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация имеет -дефект 1. Поскольку и , то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, . Поскольку и

то . Следовательно, по лемме 13 имеем Так как и , то группа изоморфна группе . Но – неабелева -группа. Противоречие. Следовательно, данный случай невозможен.

Пусть формация такая, что . Так как , то . Но тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть – группа минимального порядка из . Тогда является монолитической группой с цоколем . Понятно, что и . Применяя лемму 15 получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то .

Пусть – абелева -группа для некоторого простого числа . Если , то . Противоречие. Значит, . Кроме того, понятно, что . Так как в противном случае и по лемме 11 формация имеет -дефект 1, что невозможно. Поскольку и , то . Тогда по лемме 13 получим, что . Так как и , то группа изоморфна группе .

Пусть – неабелев цоколь группы . Тогда так как и , то . Применяя теперь лемму 13, заключаем, что . Так как и получаем, ввиду монолитичности , что группы и изоморфны.

Кроме того, заметим, что . Поскольку иначе найдется группа простого порядка , такая, что . Пусть – точный неприводимый -модуль и . Применяя лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация имеет -дефект 1. Поскольку и , то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, . Таким образом, группа удовлетворяет условию 1.3) теоремы.

Пусть теперь – -группа и пусть формация удовлетворяет условию (1) или (2). Тогда или, соответственно, . Если , то или . Но – -группа. Значит, . Противоречие. Поэтому . Но тогда – единственная максимальная подформация и – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект 1. Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект формации равен 1. Значит, удовлетворяет условию 3.1) или 3.2) теоремы.

Пусть теперь для формации выполняется условие . Тогда по лемме 8 – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Снова применяя лемму 8, получим, что – -критическая формация, …, – минимальная не -формация и – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект 1. Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект формации равен 1. Таким образом, группа удовлетворяет условию 3.3) теоремы.

Достаточность. Пусть для формации выполнено условие 1) теоремы и – циклическая примарная группа порядка , . Пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации . По лемме 14 имеем . Так как , то . Заметим, что является единственной максимальной подформацией формации , где – группа порядка .

Построим -кратно -локальный спутник , принимающий следующие значения , при , , при . Рассмотрим -кратно -насыщенную формацию . Пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .

Пусть – произвольная собственная -кратно -насыщенная подформация формации . И пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации . Если , то так как , получаем . Следовательно, . Противоречие. Значит, . Тогда, так как – единственная максимальная подформация , то и для , т.е. . По лемме 17 получаем, что . Таким образом, – единственная максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , т.е. является -неприводимой формацией.

Поскольку , то ввиду леммы 15 существует точный неприводимый -модуль , где – поле из элементов. Пусть . Тогда, так как , то, ввиду леммы 16, . Если предположить, что , то по лемме 17 получаем , где – минимальный -кратно -насыщенный спутник формации . Но тогда . Противоречие. Значит, , т.е. формация порождается группой Шмидта и имеет нильпотентный -дефект 1. Но тогда -дефект формации равен 2.

Случаи, когда – неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты , и – монолитическая группа с цоколем , где – -группа, рассматриваются аналогично.

Пусть для формации выполнено условие 2) теоремы. Построим -значный -локальный спутник , принимающий следующие значения: , при , , при . Ясно, что .

Рассмотрим -кратно -насыщенную формацию , порожденную спутником . Пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .

Пусть – произвольная собственная -кратно -насыщенная подформация формации , – ее минимальный -значный -локальный спутник. Тогда для любого . Кроме того, как нетрудно показать, имеет место включение

Поэтому . Таким образом, – единственная максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , т.е. является -неприводимой формацией.

В силу леммы 11 -дефект -кратно -насыщенной формации равен 1. Но тогда -дефект -неприводимой формации равен 2.

Пусть для формации выполнено условие 3). Построим -локальный спутник – такой, что и для любого . Так как группа является -базисной, то всякая подформация из содержится в . Следовательно, формация по лемме 8 является -критической. Пусть теперь – такой -значный -локальный спутник, что и для любого . Снова применяя лемму 8, получаем, что формация является -критической и т.д. Построим -значный -локальный спутник такой, что и для любого . Опять применяя лемму 8, получим, что формация является -критической. Заметим также, что ввиду леммы 11 -дефект -кратно -насыщенной формации равен 1. Следовательно, -дефект -неприводимой формации равен 2. Теорема доказана.

Заключение

Дано решение проблемы описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта 2, поставленной А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым в работе «Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп» (Матем. Труды. – 1999. – Т.2, №2. – С. 114-147, проблема 5). В частности, установлено внутреннее решеточное строение -приводимых формаций -дефекта 2; получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые формации -дефекта 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – М., 1978. – 267 с.

2. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. – М., 1989. ­– 256 с.

3. Скиба А.Н. Алгебра формаций. – Мн.: Беларуская навука, 1997. – 240 c.

4. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. –1999. – Т.2, №2. – С. 114–147.

5. Частично локальные формации с заданными системами подформаций: отчет о НИР (заключительный): ГБЦМ 20-07 / УО «Гомельский государственный университет имени Ф.Скорины»; рук. В.Г.Сафонов; исполн.: В.М.Селькин, В.В.Аниськов. – Гомель, 2001. – 69 с. – Библиогр.: с. 66-69. – № ГР 2000419.

6. Шаблина И.П. Модулярные и алгебраические решетки -кратно -насыщенных формаций конечных групп: Дис. … канд. физ.-мат. наук. – Гомель, 2003. – 92 с.

7. Рябченко А. И О частично насыщенных формациях с -дефектом 1 // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2008. – № 1 .– С.28–34.

8. Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не -формациях конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом-го ун-та, 1995. – Вып. 8. – С. 109–138.

9. Селькин В.М., Скиба А.Н. О -критических формациях // Вопросы алгебры. – Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1999. – Вып. 14. – С. 127–131.

10. Рябченко А. И. О минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных формациях // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С. – 2008. – №5. – C. 41–46.

11. Рябченко А. И. К теории частично насыщенных формаций // Изв. Гом.гос.унив.им.Ф.Скорины. – 2008. – №6(51). Ч.2.– С. 153–160.

8

Характеристики

Список файлов курсовой работы