86167 (612671), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Визначення 4.3. Нехай – локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації
назвемо мінімальним локальним екраном формації
.
Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальний екран, що є до того ж внутрішнім екраном.
Доказ. Нехай – множина всіх локальних екранів формації
, причому
. Позначимо через
перетинання множини екранів
. У множині
є внутрішній екран, тому
– внутрішній екран формації
. По лемі 3.4 екран
є локальним. Через лему 3.8
– шуканий екран.
Побудова локальних формацій
1. Формація всіх груп. Формація має локальний екран
таким, що
для будь - якого простого
.
2. Формація одиничних груп. Формація має порожній екран, що, мабуть, локальний.
3. Формація нильпотентних - груп. Нехай
– формація всіх нильпотентних
- груп,
– такий локальний екран, що
для кожного
для кожного
. Очевидно,
– мінімальний локальний екран формації
.
4. Формація - груп. Нехай
– формація всіх
- груп,
– такий локальний екран, що
для кожного
для кожного
. Очевидно,
–локальний екран формації
.
5. Формація - нильпотентних груп. Нехай
– формація всіх
- нильпотентних груп (
– фіксоване простої число),
– такий локальний екран, що
для будь - якого простого числа
, відмінного від
. Покажемо, що
– екран формації
. Головний ряд
- нильпотентної групи
- центральний. Нехай
. Потрібно встановити, що
- нильпотентна. Нехай
– мінімальна нормальна підгрупа групи
. По індукції
- нильпотентна. Якщо
–
- група, то звідси треба, що й
- нильпотентна. Якщо ж
- група, те
, тобто
. Якщо тепер
–
- підгрупа з
, то через
підгрупа
- нильпотентна, а виходить, і
- нильпотентна. Тим самим показано, що
.
Теорема 5.1. У кожній - групі
підгрупа
збігається з перетинанням у
всіх головних
- факторів групи
.
Наслідок 5.1.1. У будь - якій групі підгрупа Фиттинга
збігається з перетинанням у
всіх головних факторів групи
.
Наслідок 5.1.2. Для кожної - розв'язної групи
має місце включення
.
Наслідок 5.1.3. (Фиттинг). для будь - якої розв'язної групи
.
Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант - групи
- нильпотентний.
6. Формація - замкнутих груп. Нехай
– формація всіх
- замкнутих груп (
– деяка фіксована множина простих чисел),
– такий локальний екран, що
для кожного
для кожного
. Покажемо, що
– екран формації
.
Очевидно, . Припустимо, що клас
не порожній, і виберемо в ньому групу
найменшого порядку. Тоді
має єдину мінімальну нормальну підгрупу
, причому
не є
- групою. Нехай
. Тому що
, те
, а виходить,
. Тому
– абелева
- група. Тому що
- замкнута, те й
- замкнута, тобто
має нормальну
- підгрупу
. Ясно, що
. Тому що
, те
. Легко бачити, що
, а виходить, і група
- замкнута. Тим самим показано, що
.
7. Формація - дисперсивних груп. Нехай
– деяке лінійне впорядкування множини всіх простих чисел,
– формація всіх
- дисперсивних груп. Покажемо, що
локально.
Розглянемо всілякі множини простих чисел, що володіють наступною властивістю:
для всіх
. Нехай
– формація всіх
- замкнутих груп. Очевидно,
. Тому що формації
локальні, то по лемі 3.4 формація
також є локальною.
8. Формація - розв'язних груп. Нехай
– формація всіх
- розв'язних груп,
– такий локальний екран, що
для будь - якого простого
. Неважко помітити, що
– максимальний внутрішній локальний екран формації
. Зокрема, формація
є локальною.
9. Формація - груп. Нехай
– формація всіх
- груп. Позначимо через
формацію всіх абелевих груп експоненти, що ділить
. Побудуємо локальний екран
такий, що
для кожного
для кожного
. Покажемо, що
. Ясно, що
. Нехай
,
– мінімальна нормальна підгрупа групи
. По індукції
. Якщо
–
- група, то
- понад розв'язна. Нехай порядок
ділиться на деяке число
. Тоді, якщо
, те
Звідси треба, що –
- група.
Лема 5.1. Нехай – деяка що не приводиться абелева група автоморфизмів
- групи
й
. Тоді
– циклічна група порядку, що ділить
. Крім того,
– найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню
.
Доказ. Будемо вважати, що – аддитивна абелева група. Тоді
можна розглядати як правий векторний простір розмірності
над полем
з
елементів. Нехай
– комутативне підкольцо кільця
, породжене елементами
й
. Через умову
є правим
- модулем (визначення, пов'язані з
- модулями, див. у Кертиса й Райнера [1]). По лемі Шура,
– тіло. Тому що
комутативне, те
. Легко бачити, що множина всіх ненульових елементів із
замкнуто щодо операції множення й, отже, є групою. Тому
– поле. Тому що
- модуль не
приводимо, те
для будь - якого ненульового
; але тоді відображення
, є
- гомоморфізмом
- модуля
на
. Тому що ядро
є ідеал поля
, те
– ізоморфізм. Отже,
. Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому
циклічна й
ділить
.
Нехай – найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню
. Тоді
ділить
. Добре відомо, що поле
порядку
містить
порядку
. Тому що циклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й
ділить
, то
. Але тоді
й
. Лема доведена.
10. Формація . Нехай
– непуста формація,
– такий локальний екран, що
для будь - якого простого
. Застосовуючи наслідок 7.1.1 можна побачити, що
– екран формації
. Зокрема, формації
і
є локальними формаціями.
Нехай – локальний екран деякої підформації
з
. Застосовуючи леми 3.3 і 4.3, бачимо, що
є локальним
- екраном формації
. Таким чином, кожна локальна підформація формації
має внутрішній локальний
- екран. Зокрема, будь - яка локальна підформація формації
має внутрішній локальний
- екран.
Локальні формації із заданими властивостями
Нехай – деяка операція,
– локальний екран формації
. Природно виникають два питання:
1) чи Буде
- замкнутої, якщо
- замкнута для будь - якого простого
?
2) чи Буде
- замкнутої для будь - якого простого
, якщо
- замкнута?
Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретних випадках.
Теорема Слепова 1 Нехай – деякий клас груп,
– максимальний внутрішній локальний екран формації
,
– фіксоване простої число. Тоді справедливі наступні твердження:
1) якщо , те
;
2) якщо , те
.
Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай – одна з операцій
,
. Припустимо, що
. Нехай
– (нормальна) підгрупа групи
й
. Розглянемо регулярне сплетення
, де
,
– елементарна абелева
- група. По лемі 3.11.
Тому що
, те
. Розглянемо головний ряд групи
:
Нехай . Тому що
й
, те
для кожного . Отже,
, де
. По властивості регулярного сплетення
. Отже,
, і по лемі 3.10 підгрупа
є
- групою. Тому що
й формація
є по теоремі 3.3
- замкнутої, то ми одержуємо, що
. Теорема доведена.
Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації
. Формація
- замкнута (
- замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого
формація
- замкнута (відповідно
- замкнута).
Доказ. Необхідність. Припустимо, що
- замкнуто (
- замкнута). Думаючи
й застосовуючи теорему 1, ми одержуємо, що
- замкнуто (
- замкнута) для будь - якого простого
.
Достатність. Нехай для будь - якого простого формація
є
- замкнутою (
- замкнутої). Нехай
– підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи
. Покажемо, що
. Тому що
, те
володіє
- центральним головним рядом
Нехай . Тому що
те , де
. Нехай
. За умовою
й
. Звідси, через
, випливає, що
. Тим самим установлено, що ряд
є - центральним рядом групи
. Теорема доведена.
Для будь - якого натурального числа
- замкнутий клас
містить, по визначенню, кожну групу
, у вигляді добутку
нормальних
- підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.
Визначення. Клас груп назвемо слабко
- замкнутим,
, якщо
містить усяку групу
, що має
нормальних
- підгруп з попарно взаємно простими індексами.
Легко помітити, що якщо й
– підгрупи групи
причому
й
взаємно прості, те
.
Теорема Слепова 3 Нехай – локальний екран формації
й нехай для деякого натурального числа
виконується наступна умова: для будь - якого простого
формація
або збігається з
, або входить в
і є слабко
- замкнутою. Тоді
слабко
- замкнута.
Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в , але
нормальних
- підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу
найменшого порядку. Таким чином,
не належить
, але має нормальні
- підгрупи
з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи
неодиничні.
Нехай – мінімальна нормальна підгрупа групи
. У
підгрупи
мають попарно взаємно прості індекси й належать
. Тому що для
теорема вірна, те
. Ясно, що
– єдина мінімальна нормальна підгрупа групи
, причому
й
для кожного
. Через теорему 4.3.
Тому що
, те найдеться таке
, що
. Розглянемо
, де
пробігає все
- головні фактори групи
. Тому що
, те
,
. Можливі два випадки.
Випадок 1. Нехай . Тоді
неабелева й
. Звідси й з одиничності
випливає, що
. Але тоді
й, отже,
можна розглядати як деяку групу групи
, що діє тотожно на всіх
- головних факторах групи
. По добре відомій теоремі Ф. Холу
нильпотентна. Тому що
до того ж нормальна в
, те
. Але тоді
для будь - якого
, а тому що формація
слабко
- замкнута за умовою, те
. Але тоді
, тому що
й за умовою
. Одержали протиріччя.
Випадок 2. Нехай . Тоді
входить в
і є
- групою. Тому що
, те
абелева. Нехай
– максимальна підгрупа групи
, не утримуюча
. Тоді
,
,
,
. Звідси, через одиничність
, містимо, що
, a виходить,
. По лемі 3.10
є
- групою. Але тоді і
є
- групою, причому
. Ми одержуємо, таким чином, що
для кожного
. Але тоді
, тому що
слабко
- замкнута. Останнє означає, що
- центральна в
, що суперечить рівності
. Знову одержали протиріччя.
Теорема доведена.
Наслідок 4 Нехай група має дві нормальні
- понад розв'язні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді
- понадрозв'язна.
Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудований екран задовольняє умові теореми 3 при .