86167 (612671), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теорема 2.1. Нехай і – формації, причому або , або замкнута щодо нормальних підгруп. Тоді – формація, що збігається з добутком

Визначення 2.5. Нехай – деяка множина груп. Нехай – перетинання всіх тих формацій, які містять клас називається формацією, породженої множиною груп

Помітимо, що операцію часто позначають інакше через Якщо те пишуть замість , причому в цьому випадку називають формацією, породженою групою .

Теорема 2.2. Для будь - якого класу має місце рівність:

Доказ. Якщо , те , і твердження вірно. Нехай . Тому що , те клас є - замкнутим. є клас і по лемі 2.2. Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо

Останнє означає - замкнутість класу . Отже, – формація, що містить , тому що . Виходить, . Зворотне включення очевидно.

Лема 2.5. Для будь - яких елементів групи виконуються рівності Якщо – підгрупи групи , то виконуються наступні твердження:

1)

2) для будь - якого гомоморфізму групи ; зокрема, якщо група з нормалізує й , те нормалізує й

Лема 2.6 Нехай – підгрупа нильпотентної групи , причому . Тоді

Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь - якому натуральному виконується включення:

При це вірно, тому що , а виходить, . Припустимо, що включення (*) справедливо при якімсь . Тоді, використовуючи лему 2.5, одержуємо

Тим самим (*) доведено.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо – така підгрупа групи , що , то

Доказ. Нехай – нильпотентна нормальна підгрупа групи , а – така підгрупа з , що . Доведемо індукцією по , що . Це вірно, якщо . Тому будемо вважати, що . Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку

Очевидно, підгрупа нормалізує й . Позначимо через підгрупу групи , породжену підгрупами . Оскільки проекції на множники прямого добутку рівні , те . Помітимо ще, що , де нормально в і нильпотентна як добуток з .

Нехай – центр підгрупи , . Легко бачити, що , причому й ; аналогічно, і . Але тоді , абелева й нормальна в. Якщо , те , де , і якщо , те , що тягне . Отже, . Якщо абелева, те , і ми маємо

Припустимо тепер, що . Ясно, що . Тому що

те нильпотентна щабля . Тому що , те ізоморфна й має щабель , а тому відповідно до леми 2.6 її нормальне замикання в має щабель . Тому що нормалізує й , те нормальна в. Отже, , причому . По індукції

Для групи і її нильпотентної нормальної підгрупи щабля теорема також вірна по індукції. Тому

Теорема доведена.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв'язною групою, містить лише кінцеве число підформацій.

Доказ. Нехай – підформація формації . Якщо , то по теоремі 2.3 має місце , що й потрібно.

Екрани

Недоліком поняття групової функції є те, що не завжди ущільнення - центрального ряду нормальними підгрупами є - центральним рядом.

Визначення 3.1. Відображення класу всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь - якої групи виконуються наступні умови:

1) – формація;

2) для будь - якого гомоморфізму групи ;

3) .

З умови 2) випливає, що екран приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо – екран, те кожний f - центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f - центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f - центральними рядами, співпадає з формацією .

Лема 3.1. Нехай – екран, – група операторів групи , – деяка нормальна - припустима підгрупа з . Якщо володіє нормальним - припустимим рядом, фактори якого - центральні відносно , то один з таких рядів проходить через .

Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:

Нехай . Тоді ряд

буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й - ізоморфизми:

Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої непустої множини екранів також є екраном;

2) об'єднання будь - якого непустого ланцюга екранів також є екраном.

Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості , уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь - якої групи множина формацій лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання є формацією. Тим самим лема доведена.

Визначення 3.2. Екран назвемо:

1) p - однорідним, якщо він p - постійний і для будь - якої групи і її силовської p – підгрупи має місце ;

2) однорідним, якщо він p - однорідний для будь - якого простого p;

3) локальним, якщо він є локальною груповою функцією;

4) композиційним, якщо для будь - якої групи має місце , де пробігає всі фактори групи

5) порожнім, якщо для будь - якої неодиничної групи ;

6) - екраном, якщо для будь - якої групи .

- екран при будемо називати одиничним екраном.

Легко бачити, що кожний локальний екран є однорідним, а кожний композиційний екран є примарно постійним.

Приклад 3.1. Нехай і – непусті формації, причому , а групова функція така, що для кожної групи й для будь - який групи . Тоді – однорідний екран, що не є ні локальним, ні композиційним.

Приклад 3.2. Нехай – непуста формація, а групова функція така, що для будь - який групи виконуються умови:

1) , якщо не має абелевих композиційних факторів;

2) , якщо має хоча б один абелев композиційний фактор.

Тоді – композиційний екран, що не є однорідним.

Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїми значеннями на підгрупах. Щоб побудувати локальний екран , досить кожному простому числу поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь - якої групи покласти , де пробігає .

Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран , потрібно кожній простій групі поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь - якої групи покласти , де пробігає всі композиційні фактори групи .

Лема 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетинання будь - якої непустої множини однорідних екранів знову є однорідним екраном;

2) перетинання будь - якої непустої множини локальних екранів знову є локальним екраном;

3) перетинання будь - якої непустої множини композиційних екранів знову є композиційним екраном.

Доказ. Нехай екран є перетинанням множини екранів . Припустимо, що всі екрани є локальними, тобто для будь - яких і має місце рівність:

де пробігає всі підгрупи групи . Тоді

а виходить, – локальний екран.

Лема 3.4. Об'єднання будь - якого непустого ланцюга примарно постійних екранів є примарно постійним екраном.

Доказ. Нехай – деякий ланцюг екранів, – її об'єднання, . По лемі 3.3 функція є екраном, причому ясно, що постійність тягне постійність екрана . Припустимо, що все є однорідними екранами. Тоді, якщо – будь - яка група й , те . Отже,

що й доводить однорідність екрана .

Екрани формацій

Кожної групової функції відповідає формація .

Лема 3.5. є непустою формацією для будь - якої групової функції .

Визначення 3.3. Нехай – деяка формація. Якщо – такий екран, що , то формація називається східчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що

– екран формації ,

має екран ,

екран визначає формацію ,

визначається екраном .

Формація має одиничний екран. Одинична формація має порожній екран.

Визначення 3.4. Екран назвемо внутрішнім, якщо – внутрішня групова функція, тобто для будь - якої неодиничної групи .

Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.

Доказ. Нехай – екран формації . Визначимо функцію в такий спосіб: для будь - якої групи . Легко бачити, що – екран, причому . Якщо й – головний фактор групи , то . Тому що клас - замкнуть, те , а виходить, - центральний Таким чином, . Отже, , тобто – шуканий внутрішній екран.

Лема 3.7. Нехай – екран формації . Тоді є екраном формації .

Доказ. Нехай – довільний головний фактор групи . Нехай . Тому що , те . Виходить, , тобто - в. Звідси треба, що .

Обернено, якщо , те головний ряд групи буде - центральним для будь - якого , тобто . Отже, .

Лема 3.8. Перетинання будь - якої непустої множини екранів формації знову є екраном формації . Крім того, якщо в є хоча б один внутрішній екран, те – внутрішній екран.

Доказ. Те, що – екран формації , безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у є внутрішній екран . Тоді для будь - якої групи . Виходить, – внутрішній екран.

Формація з однорідним екраном

Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.

Доказ. Нехай формація має однорідний екран. Через лему 3.6 формація має внутрішній однорідний екран . Побудуємо локальний екран , що задовольняє наступній умові: для будь - якого простого . Тоді й, отже, . Припустимо, що формація має групи, що не входять в , і виберемо серед всіх таких груп групу , що має найменший порядок. Тоді є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи . Тому що , те для кожного має місце

Якщо неабелева, то й . Якщо ж – - група, то виходить, що - центральна в. А це суперечить тому, що . Теорема доведена.

Локальна формація

Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.

Визначення 4.1. Формація називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.

Визначення 4.2. Нехай – внутрішній локальний екран формації , що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації . Тоді називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації .

Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація має єдиний максимальний внутрішній локальний екран , причому задовольняє наступній умові: для будь - якого простого числа p.

Характеристики

Список файлов курсовой работы