86167 (612671)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Курсова робота

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Введення

Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.

У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.

Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою й всі групи, ізоморфні .

Якщо група (підгрупа) належать класу , то вона називається групою ( - підгрупою).

Визначення 1.2. Клас груп називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожна фактор - група будь - якої групи з також належить ;

2) із завжди треба .

Якщо формації й такі, що , то називається підформацією формації .

По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація – це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас усіх - груп, клас всіх абелевих груп, клас всіх нильпотентних груп, клас усіх - груп ( – фіксоване простої число), клас всіх нильпотентних - груп, клас всіх розв'язних груп, клас всіх розв'язних - груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.

Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;

2) якщо – деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення , то об'єднання є формацією.

Доказ здійснюється перевіркою.

Визначення 1.3. Нехай – непуста формація. Позначимо через і - корадикалом групи перетинання всіх тих нормальних підгруп з , для яких .

Очевидно, - корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою. - корадикал групи позначають інакше через і називають - корадикалом. - корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал, - розв'язний корадикал, - корадикал і т.д. - корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант, - корадикал зберігається при гомоморфізмах.

Лема 1.2. Нехай – непуста формація, . Тоді справедливі наступні твердження:

1)

2) якщо те

3) якщо й , те

Доказ. Нехай . Тоді

Звідси треба, що . З іншого боку,

звідки одержуємо . З і треба рівність . Твердження 1) доведено.

Нехай – природний гомоморфізм групи на Очевидно,

звідки треба рівність . Зокрема, якщо , те . Лема доведена.

Визначення 1.4. Нехай і – деякі формації. Якщо , то покладемо Якщо , те позначимо через клас всіх тих груп , для яких Клас називається добутком формацій і .

З визначення 1.4 треба, що добуток формацій є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій причому добуток уже визначений, то Зокрема, якщо для будь - якого те ми приходимо до поняття ступеня

Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудови формацій.

Теорема 1.1. Добуток будь - яких двох формацій також є формацією.

Лема 1.3. Нехай і – нормальні підгрупи групи . Тоді кожний головний фактор групи - ізоморфний або деякому головному фактору групи , або деякому головному фактору групи

Доказ випливає з розгляду - ізоморфізму

Теорема 1.2. Нехай – деяка формація, – клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать Нехай – об'єднання формацій Тоді – підформація формації

Доказ. З леми 1.3 виводимо, що – формація. З теореми 1.1 і леми 1.1 випливає, що клас є формацією. Якщо – мінімальна нормальна підгрупа групи , то по індукції для деякого натурального . Але тоді або , або – - корадикал групи . Тому що , те звідси випливає, що , і теорема доведена.

Операції на класах груп

Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себе називається операцією на класах груп.

Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшими латинськими буквами. Результат операції , застосованої до класу позначається через Ступінь операції визначається так: Добуток операцій визначається рівностями:

Уведемо операції в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли вкладається як підгрупа в якусь - групу;

тоді й тільки тоді, коли вкладається як нормальна підгрупа в якусь - групу;

тоді й тільки тоді, коли є гомоморфним образом якоїсь - групи;

тоді й тільки тоді, коли співпадає з добутком деякого кінцевого числа своїх нормальних - підгруп;

тоді й тільки тоді, коли має нормальні підгрупи такі, що

тоді й тільки тоді, коли є розширенням - групи за допомогою - групи;

тоді й тільки тоді, коли має нормальну підгрупу таку, що

Якщо , то замість пишуть Оборотний увага на той факт, що якщо – нормальні підгрупи групи , причому для кожного , то Помітимо ще, що операцію можна визначити за допомогою поняття підпрямого добутку. Нагадаємо (див. Каргаполов і Мерзляков [1]), що підгрупа прямого добутку називається підпрямим добутком груп якщо проекція на збігається з Легко бачити, що тоді й тільки тоді, коли є добуток деякого кінцевого числа - груп.

Визначення 2.2. Клас називається замкнутим щодо операції або, більш коротко, - замкнутим, якщо

Формацію можна визначити тепер як клас груп, що одночасно - замкнуть і - замкнуть. - замкнутий клас згідно Гашюцу [3] називається насиченим. - замкнутий клас груп називається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп (нормальних підгруп), якщо він - замкнутий (відповідно - замкнуть).

Лема 2.1. . Якщо клас груп містить одиничну групу й - замкнуть, то

Доказ. Щодо операцій і твердження очевидно. Нехай – довільний клас груп. Ясно, що Якщо , те в найдеться нормальна підгрупа така, що . Група має нормальну підгрупу таку, що й Але тоді Тому що , те , а виходить, Таким чином, , що й потрібно.

Нехай . Якщо , то має нормальну - підгрупу таку, що Група має нормальну - підгрупу таку, що . Тому що й , те з - замкнутості класу треба, що . Виходить, , тобто . Зворотне включення очевидно.

Лема 2.2. Для будь - якого класу справедливо наступне твердження:

Доказ. Якщо , то Нехай Якщо , те , а виходить, . Таким чином, . Нехай . Тоді має такі нормальні підгрупи , що Група має такі нормальні підгрупи , що Тому що , те , що й доводить рівність

Лема 2.3. Для будь - якого класу має місце включення

Доказ. Якщо , то . Нехай і група є підпрямим добутком груп , де . Розглянемо функцію . Функція є гомоморфізмом групи в групу . Ясно, що

є добуток груп , причому . Отже, , і лема доведена.

Лема 2.4.

У роботі Фишера, Гашюца й Хартли [1] уведене наступне поняття, у деякому змісті двоїсте визначенню формації.

Визначення 2.3. Клас груп називається класом Фиттинга, якщо він одночасно - замкнутий і - замкнуть.

Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Через подвійність (нормальна підгрупа – фактор - група) формацію можна було б назвати корадикальним класом.

Визначення 2.4. Нехай непустий - замкнутий клас, що містить 1. Позначимо через і назвемо - радикалом групи добуток всіх її нормальних - підгруп.

Класи є радикальними. - радикал групи – це її підгрупа Фиттинга - радикал позначають інакше через і називають - радикалом. - радикал називають розв'язним радикалом; зрозумілі також терміни - нильпотентний радикал, - замкнутий радикал і т.д. Клас усіх - нильпотентних груп є одночасно радикальним і корадикальним; – це - нильпотентний радикал групи .

Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов курсовой работы