86167 (612671), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Наслідок 5 Нехай група має дві нормальні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді понад розв'язна .

Теорема Слепова 6 Нехай формація має такий локальний екран , що для будь - якого простого формація або збігається з , або входить в і є - замкнутою. Тоді - замкнута.

Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми 3.

Теорема Слепова 7 Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація - замкнута (слабко - замкнута, ) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого формація - замкнута (відповідно слабко - замкнута).

Доказ. Достатність випливає з теорем 3 і 6. Нехай - замкнута (слабко - замкнута, ). Нехай , де – нормальні - підгрупи (нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що , те . Покажемо, що .

Нехай , де , – елементарна абелева - група. для кожного . Тому що - замкнута (слабко - замкнута), те звідси випливає, що . Якщо – перетинання в усіх - головних факторів групи , то

Тому що , те по лемі 3.10 підгрупа є - групою. Але тоді , тому що по теоремі 3.3 має місце рівність .

Теорема доведена.

Лема Чунихина 8 Нехай , , . Тоді . Зокрема, якщо й , те непроста.

Доказ. З рівності треба, що

Отже, . Звідси, через для кожного , одержуємо . Лема доведена.

Теорема Виландт 9 Група розв'язна, якщо вона має три розв'язні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Доказ. Нехай група має розв'язні підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді . Нехай – мінімальна нормальна підгрупа з . Тому що розв'язно, те , – простої число. Через умову теореми, не ділить одночасно й . Нехай, для визначеності, не ділить . Це значить, що силовська - підгрупа з є силовською - підгрупою групи . Через теорему Силова , де . Тому що й , те по лемі 8 . Таким чином, – неодинична розв'язна нормальна підгрупа групи . У фактор - групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. По індукції розв'язна, але тоді й розв'язна. Теорема доведена.

Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.

Визначення. Клас груп називається - замкнутим ( – натуральне число), якщо містить усяку групу , що має - підгруп, індекси яких у при попарно взаємно прості.

По визначенню, порожня формація - замкнута для кожного . Єдиної - замкнутою непустою формацією, відмінної від , умовимося вважати .

Лема 10 Нехай і – - замкнуті класи груп. Тоді також - замкнуть.

Доказ очевидно.

Наступна лема доведена Крамером.

Лема 11 Нехай формація втримується в і - замкнута, . Тоді формація є - замкнутою.

Доказ. Нехай група має - підгрупи , ,…, ,індекси яких у попарно взаємно прості. Тому що , те по теоремі 9 група розв'язна. При будь - якому гомоморфізмі групи образи підгрупи належать і мають попарно взаємно прості індекси. Тому можна вважати, що - корадикал групи є її єдиною мінімальною нормальною підгрупою. Ясно, що є - групою для якогось . Підгрупа Фиттинга групи також є - групою. Індекс будь - якої підгрупи, що не містить , ділиться на . Тому втримується принаймні в підгрупах нашої системи підгруп . Будемо вважати, що , . Тому що є - групою, те й , . Звідси й з наслідку випливає, що , . Тому що , те ми одержуємо, що , . Скориставшись - замкнутістю формації , ми приходимо до того, що .

Лема доведена.

Теорема Крамер 12 Нехай – такий локальний - екран формації , що для будь - якого простого формація - замкнута, . Тоді - замкнута.

Доказ. Тому що – - екран, то для будь - якого простого , а виходить, . Нехай . Через лему 4.5. Якщо , те й - замкнута; якщо ж , те по лемі формація - замкнута. У кожному разі - замкнута. По лемі - замкнута. Застосовуючи лему 10, ми бачимо, що й формація - замкнута. Теорема доведена.

Тому що формація має одиничний екран, що задовольняє умові теореми 12 при , те ми одержуємо

Наслідок Кегель 13 Група нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.

Лема 14 Клас усіх - замкнутих груп - замкнуть.

Доказ таке ж, як і в теореми 9.

Лема 15 Кожна формація нильпотентних груп є - замкнутою.

Доказ. Нехай – деяка формація нильпотентних груп. Нехай група має - підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді по наслідку 13 група нильпотентна. Якщо – найвищий ступінь простого числа , що ділить , то ділить для деякого , тому що не може ділити одночасно індекси всіх підгруп , і . Якщо ділить , то силовська - підгрупа із входить в і є силовскою - підгрупою групи . Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи є - групами. Тому що – формація, те звідси треба, що .

Лема доведена.

Лема 16 Нехай – якийсь - замкнутий гомоморф - замкнутих груп. Тоді клас - замкнуть.

Доказ. Нехай група має - підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. По лемі 14 має нормальну силовску - підгрупу . Оскільки є силовскої - підгрупою в і – гомоморф, те . У групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. Тому через - замкнутість маємо . Лема доведена.

Лема 17 Для будь - якого простого й будь - якої формації нильпотентних груп клас є - замкнутою формацією.

Доказ. По лемі 15 клас - замкнуть. По лемі 16 клас - замкнуть і по теоремі 1.1 Ошибка! Источник ссылки не найден. є формацією.

Теорема 18 Нехай – локальна підформація формації , – максимальний внутрішній локальний екран формації . Якщо для будь - якого простого формація - замкнута, , то - замкнута.

Доказ. Нехай . Через теорему 3.3 і леми 4.5, . Формація - замкнута. По лемі 10 формація - замкнута. Теорема доведена.

Теорема Крамер 19 Будь - яка локальна підформація формації є - замкнутою.

Доказ. Нехай – локальна підформація формації . має внутрішній локальний - екран . Нехай – максимальний внутрішній локальний екран формації . Тоді по теоремі 3.3 для будь - якого простого має місце рівність . Тому що , те по лемі 17 формація - замкнута. Тоді по теоремі 18 формація - замкнута. Теорема доведена.

Наслідок Д рк 20 Нехай група має чотири підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Висновок

У даній курсовій роботі ми дали визначення формації, добутку формацій, а також операцій на класах груп. Познайомилися з поняттям екрана, радикального й корадикального класів. У роботі розглянули ситуацію: кінцеві розв'язні групи з нормальною максимальною підгрупою, що належить локальної формації формації всіх груп з нильпотентним комутантом. Розглядали тільки кінцеві й розв'язні групи.

Теорія кінцевих груп ніколи не випробовувала недоліку в загальних методах, ідеях і невирішених проблемах, все - таки достаток отриманих результатів з неминучістю привело до необхідності розробки нових загальних методів і крапок, що систематизують, зору. Поштовх, зроблений роботою Гашюца, викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку - теорії формацій.

Література

1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп. – К., 2003

2 Кертис Ч., Райнер И. Теорія подань кінцевих груп і асоціативних алгебр. – К., 2006

3 Чунихин С.А. О - властивості кінцевих груп. –К., 2001

4 Шеметков Л.А. Формація кінцевих груп. – К., 2002

Характеристики

Список файлов курсовой работы