86076 (612633), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Нужно также учитывать многообразие различных возможных видов симметрии.

Не менее важным является четкое соблюдение логических этапов в рассуждениях с симметрией.

Обычно симметрия позволяет установить лишь необходимые условия, а затем требуется проверка их достаточности.

Пример 41 Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет единственное решение.

Решение. Заметим, что и --- четные функции, поэтому левая часть уравнения есть четная функция.

Значит если --- решение уравнения, то есть также решение уравнения. Если --- единственное решение уравнения, то, необходимо, .

Отберем возможные значения , потребовав, чтобы было корнем уравнения.

Сразу же отметим, что другие значения не могут удовлетворять условию задачи.

Но пока не известно, все ли отобранные в действительности удовлетворяют условию задачи.

Достаточность.

1) , уравнение примет вид .

2) , уравнение примет вид:

Очевидно, что , для всех и . Следовательно, последнее уравнение равносильно системе:

Тем самым, мы доказали, что при , уравнение имеет единственное решение.

Ответ. .

Решение с исследованием функции

Пример 42 7 Докажите, что все решения уравнения

--- целые числа.

Решение. Основной период исходного уравнения равен . Поэтому сначала исследуем это уравнение на отрезке .

Преобразуем уравнение к виду:

При помощи микрокалькулятора получаем:

Находим:

Если , то из предыдущих равенств получаем:

Решив полученное уравнение, получим: .

Выполненные вычисления представляют возможность предположить, что корнями уравнения, принадлежащими отрезку , являются , и .

Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу. Таким образом, доказано, что корнями уравнения являются только целые числа , .

Пример 43 Решите уравнение .

Решение. Найдём основной период уравнения. У функции основной период равен . Основной период функции равен . Наименьшее общее кратное чисел и равно . Поэтому основной период уравнения равен . Пусть .

Очевидно, является решением уравнения. На интервале . Функция отрицательна. Поэтому другие корни уравнения следует искать только на интервалаx и .

При помоши микрокалькулятора сначала найдем приближенные значения корней уравнения. Для этого составляем таблицу значений функции на интервалах и ; т. е. на интервалах и .

Из таблицы легко усматриваются следующие гипотезы: корнями уравнения, принадлежащими отрезку , являются числа: ; ; . Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу.

Ответ. ; ; .

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

При решении тригонометрических неравенств вида , где --- одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа . Разберём на примере, как решать такие неравенства.

Пример 44 Решите неравенство .

Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит .

Для решением данного неравенства будут . Ясно также, что если некоторое число будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на , то также будет не меньше . Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все .

Ответ. .

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые и соответственно (на рисунке (1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности.

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

Пример 45 Решите неравенство .

Решение. Обозначим , тогда неравенство примет вид простейшего: . Рассмотрим интервал длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что . Вспоминаем теперь, что необходимо добавить , поскольку НПП функции . Итак, . Возвращаясь к переменной , получаем, что .

Ответ. .

Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.

Решение тригонометрических неравенств графическим методом

Заметим, что если --- периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений , а также всех , отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции .

Рассмотрим решение неравенства ( ).

Поскольку , то при неравенство решений не имеет. Если , то множество решений неравенства --- множество всех действительных чисел.

Пусть . Функция синус имеет наименьший положительный период , поэтому неравенство можно решить сначала на отрезке длиной , например, на отрезке . Строим графики функций и ( ).

На отрезке функция синус возрастает, и уравнение , где , имеет один корень . На отрезке функция синус убывает, и уравнение имеет корень . На числовом промежутке график функции расположен выше графика функции . Поэтому для всех из промежутка ) неравенство выполняется, если . В силу периодичности функции синус все решения неравенства задаются неравенствами вида: .

Аналогично решаются неравенства , , и т.п.

Пример 46 Решим неравенство .

Решение. Рассмотрим график функции

и выберем из промежутка на оси значения аргумента , которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси . Таким промежутком является интервал . Учитывая периодичность функции все решения неравенства можно записать так: .

Ответ. .

Характеристики

Список файлов курсовой работы