86076 (612633), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пример 47 Решите неравенство 
.
Решение. Нарисуем график функции 
. Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой 
.
Это точка с абсциссой 
. По графику видно, что для всех 
график функции лежит ниже прямой . Следовательно, эти 
и составляют:
Ответ. .
ОТБОР КОРНЕЙ
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы <> с ними.
Пример 48 Найти ближайший к числу 
корень уравнения
Решение.
Подставляя последовательно в формулу 
вместо переменной выписанные выше серии решений уравнений, отыщем для каждой из них 
, а затем сравним полученные минимальные 
между собой.
a) 
Ясно, что 
достигается при 
, то есть 
.
б)
.
в)
.
г)
.
.
Выберем минимальное из чисел 
, 
. Сразу ясно, что 
и что 
. Оталось сравнить 
и 
. Предположим, что
Последнее неравенство --- верное, а все сделанные переходы --- равносильные. Поэтому верно исходное неравенство. Обоснуем равносильность переходов (*) и (**) (равносильность остальных переходов следует из общих свойств числовых неравнств). В случае преобраования (*), достаточно заметить, что числа 
и 
расположен на участке 
монотонного возрастания функции 
. В случае перехода (**) формула 
справедлива, так как 
.
Ответ. 
.
Пример 49 Найти корни уравнения: 
.
Решение этого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию 
. При этом заботится об условии 
нет необходимости. Все значения 
, удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.
Первый шаг нас приводит к уравнению 
, откуда 
.
Теперь надо определить, при каких будет 
. Для этого достаточно для рассмотреть значения 
, 
, 
, т. е. <>, поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную 
.
Ответ. 
, 
.
Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются.
Пример 50 Решить уравнение:
Решение. Уравнение равносильно смешанной системе:
Но 
--- не годится.
Ответ. 
.
Раскрывая знак модуля получаем более громоздное решение. А ответ в этом случае принимает вид:
Ответ. 
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Тест по теме <>
• Объединение каких множеств 
, 
, 
, 
является решением уравнения 
, 
, 
, 
.
a) , б) , в) , г) ,
• Решите уравнение 
.
a)
б)
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г)
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Среди множеств 
, 
найдите решение уравнения
и укажите те, которые не являются подмножествами друг друга.
, 
, 
, 
, 
.
а) 
б) 
в) 
г) 
• Среди множеств , найдите решение уравнения
а) б) 
в) 
г)
• Решите уравнение 
.
а) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение
а) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
а) 
б) 
в) 
г) 
• Сумма корней уравнения 
на отрезке 
равна:
а) 
б) в) 
г) 
• Решите уравнение
В ответе записать количество корней уравнения, принадлежащих отрезку 
.
а) б) 
в) 
г) 
• Решить уравнение 
а) 
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
a) б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение
a)
б) 
в) 
г) 
Найдите набольший отрицательный корень уравнения:
a) 
б) 
в) г) 
• Решите уравнение 
на множестве 
.
a)
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
в) 
г) 
• Решить уравнение 
.
а) 
б) 
в) г)
• Решите уравнение 
.
a) 
б) 
или 
в) 
или и 
г) или и
Ответы 1а 2б 3б 4г 5б 6б 7а 8б 9г 10б 11а 12б 13в или г 14а 15в 16в 17в 18а или б 19г 20в
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе были рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, как простейших, так и олимпиадного уровня. Были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, причем, как специфические --- характерные только для тригонометрических уравнений и неравенств,--- так и общие функциональные методы решения уравнений и неравенств, применительно к тригонометрическим уравнениям.
В дипломной работе приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом. Описан процесс решения неэлементарных тригонометрических неравенств через элементарные неравенства и уже хорошо известный школьникам метод интервалов. Приведены решения типичных заданий на отбор корней. Приведены необходимые теоретических сведения для отбора корней: разбиение множества целых чисел на непересекающиеся подмножества, решение уравнений в целых числах (диафантовых).
Результаты данной дипломной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке курсовых и дипломных работ, при составлении факультативов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к вступительным экзаменам и централизованному тестированию.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
11[] Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. /Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970.
22[] Игудисман О., Математика на устном экзамене/ Игудисман О. --- М.: Айрис пресс, Рольф, 2001.
33[] Азаров А.И., уравнения/Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. --- Мн.: Тривиум, 1994.
44[] Литвиненко В.Н., Практикум по элементарной математике / Литвиненко В.Н.--- М.: Просвещение, 1991.
55[] Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике: решение задач/ Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. --- М.: Просвещение, 1991.
66[] Бардушкин В., Тригонометрические уравнения. Отбор корней/В. Бардушкин, А. Прокофьев.// Математика, №12, 2005 с. 23--27.
77[] Василевский А.Б., Задания для внеклассной работы по математике/Василевский А.Б. --- Мн.: Народная асвета. 1988. --- 176с.
88[]Сапунов П. И., Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений/Сапунов П. И. // Математическое просвещение, выпуск №3, 1935.
99[] Бородин П., Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ[текст]/П.Бородин, В.Галкин, В.Панфёров, И.Сергеев, В.Тарасов // Математика №1, 2005 с. 36--48.
1010[] Самусенко А.В., Математика: Типичные ошибки абитуриентов: Справочное пособие/Самусенко А.В., Казаченок В.В.--- Мн.: Вышейшая школа, 1991.
1111[] Азаров А.И., Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач/Азаров А.И., Барвенов С.А.,--- Мн.: Аверсэв, 2004.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
