86076 (612633), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .)

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.

Пример 3 Решить уравнение .

Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: и . Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем .

Другой путь. Поскольку , то, заменяя и по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим , откуда .

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, , то окажется, что , т.е. уравнение имеет решение , в то время как первый способ нас приводит к ответу . "Увидеть" и доказать равенство не так просто.

Ответ. .

Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений

Будем рассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обе стороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.

Фиксируя один из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вести двойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов, расположенных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево от нулевого.

В общем случае, если разность прогрессии , нулевой член , формула для любого ( -го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:

Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии

1. Если к нулевому члену прибавить или отнять разность прогрессии , то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов.

2. Если коэффициент при переменной величине умножить на , то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.

3. Если последовательных членов бесконечной прогрессии

например , , , ..., , сделать центральными членами прогрессий с одинаковой разностью, равной :

то прогрессия Error: Reference source not found и ряд прогрессий Error: Reference source not found выражают собой одни и те же числа.

Пример 4 Ряд может быть заменен следующими тремя рядами: , , .

4. Если бесконечных прогрессий с одинаковой разностью имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью , то эти рядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью , и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если

то эти прогрессий объединяются в одну:

Пример 5 , , , обе объединяются в одну группу , так как .

Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремяться объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.

Разложение на множители

Метод разложения на множетели заключается в следующем: если

то всякое решение уравнения

является решение совокупности уравнений

11()

Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений 1 могут не входить в область определения функции .

Пример 6 Решить уравнение .

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде

Ответ. ; .

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Пример 7 Решить уравнение .

Решение. Применим формулу Error: Reference source not found, получим равносильное уравнение

Ответ. .

Пример 8 Решить уравнение .

Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения . В итоге получим равносильное уравнение

Ответ. , .

Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

При решении ряда уравнений применяются формулы.

Пример 9 Решить уравнение

Решение. Применив формулу Error: Reference source not found, получим равносильное уравнение:

Ответ. , .

Пример 10 Решить уравнение .

Решение. Применив формулу Error: Reference source not found, получим равносильное уравнение:

.

Ответ. .

Решение уравнений с применением формул понижения степени

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.

Пример 11 Решить уравнение .

Решение. Применяя формулу, получим равносильное уравнение.

.

Ответ. ; .

Решение уравнений с примененнием формул тройного аргумента

Пример 12 Решить уравнение .

Решение. Применим формулу Error: Reference source not found, получим уравнение

Ответ. ; .

Пример 13 Решить уравнение .

Решение. Применим формулы понижения степени получим: . Применяя Error: Reference source not found получаем:

.

Ответ. ; .

Равенство одноименных тригонометрических функций

Пример 14 Решить уравнение .

Решение.

Ответ. , .

Пример 15 Решить уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение.

Ответ. .

Пример 16 Известно, что и удовлетворяют уравнению

Найти сумму .

Решение. Из уравнения следует, что

Ответ. .

Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

Рассмотрим суммы вида

Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на , тогда получим

Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:

Пример 17 Решить уравнение .

Решение. Видно, что множество является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на не приведет к появлению лишних корней.

Имеем .

Ответ. ; .

Пример 18 Решить уравнение .

Решение. Домножим левую и правую части уравнения на и применив формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, пролучим

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , откуда и .

Так как корни уравнения не являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить . Значит во множестве нужно исключить .

Ответ. и , .

Пример 19 Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :

Уравнение запишется в виде:

Принимая , получаем . , . Следовательно

Ответ. .

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим

Сводящиеся к квадратным

Если уравнение имеет вид

то замена приводит его к квадратному, поскольку (Error: Reference source not found) и Error: Reference source not found.

Если вместо слагаемого будет , то нужная замена будет .

Уравнение

сводится к квадратному уравнению

представлением как . Легко проверить, что при которых , не являются корнями уравнения, и, сделав замену , уравнение сводится к квадратному.

Пример 20 Решить уравнение .

Решение. Перенесем в левую часть, заменим ее на , и выразим через и .

После упрощений получим: . Разделим почленно на , сделаем замену :

Возвращаясь к , найдем .

Уравнения, однородные относительно ,

Рассмотрим уравнение вида

22()

где , , , ..., , --- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения 2 степени одночленов равны , т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно и , а число называется показателем однородности.

Ясно, что если , то уравнение примет вид:

решениями которого являются значения , при которых , т. е. числа , . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же , то эти числа не являются корнями уравнения 2.

При получим: , и левая часть уравнения (1) принимает значение .

Итак, при , и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:

Однородные уравнения с показателем однородности 1. При имеем уравнение .

Если , то это уравнение равносильно уравнению , , откуда , .

Пример 21 Решите уравнение .

Решение. Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на получим: , , , .

Ответ. .

Пример 22 При получим однородное уравнение вида

Характеристики

Список файлов курсовой работы