86076 (612633), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Решение.

Если , тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение , которое подстановкой легко приводится к квадратному: . Если , то уравнение имеет действительные корни , . Исходное уравнение будет иметь две группы решений: , , .

Если , то уравнение не имеет решений.

Пример 23 Решите уравнение .

Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: . Пусть , тогда , , . , , ; , , .

Ответ. .

К уравнению вида 2 сводится уравнение

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

В частности, уравнение сводится к однородному, если заменить на , тогда получим равносильное уравнение:

Пример 24 Решите уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение к однородному:

Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:

Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению: , , , , .

Ответ. .

Пример 25 Решите уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: , ,

Пусть , тогда получим , , .

Ответ. .

Уравнения, решаемые с помощью тождеств

Полезно знать следующие формулы:

33()

Пример 26 Решить уравнение .

Решение. Используя 3, получаем

Ответ.

Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:

следовательно,

.

Аналогично, .

Пример 27 Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :

.

Уравнение запишется в виде:

Принимая , получаем . , . Следовательно

Ответ. .

Универсальная тригонометрическая подстановка

Тригонометрическое уравнение вида

где --- рациональная функция с помощью фомул Error: Reference source not found -- Error: Reference source not found, а так же с помощью формул Error: Reference source not found-- Error: Reference source not found можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов , , , , после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

44()

55()

Следует отметить, что применение формул 4 может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.

Пример 28 Решить уравнение .

Решение. По условию задачи . Применив формулы 4 и сделав замену , получим

откуда и, следовательно, .

Уравнения вида

Уравнения вида , где --- многочлен, решаются с помощью замен неизвестных

66()

Пример 29 Решить уравнение .

Решение. Сделав замену 6 и учитывая, что , получим

откуда , . --- посторонний корень, т.к. . Корнями уравнения являются .

НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Использование ограниченности функций

В практике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций и . Например:

Пример 30 Решить уравнение .

Решение. Поскольку , , то левая часть не превосходит и равна , если

Для нахождения значений , удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

Начнем со второго: , . Тогда , .

Понятно, что лишь для четных будет .

Ответ. .

Другая идея реализуется при решении следующего уравнения:

Пример 31 Решить уравнение .

Решение. Воспользуемся свойством показательной функции: , .

Сложив почленно эти неравенства будем иметь:

Следовательно левая часть данного уравнения равна тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

т. е. может принимать значения , , , а может принимать значения , .

Ответ. , .

Пример 32 Решить уравнение .

Решение. , . Следовательно, .

Ответ. .

Пример 33 Решить уравнение

77()

Решение. Обозначим , тогда из определения обратной тригонометрической функции имеем и .

Так как , то из уравнения 7 следует неравенство , т.е. . Поскольку и , то и . Однако и поэтому .

Если и , то . Так как ранее было установлено, что , то .

Ответ. , .

Пример 34 Решить уравнение

88()

Решение. Областью допустимых значений уравнения 8 являются .

Первоначально покажем, что функция

при любых может принимать только положительные значения.

Представим функцию следующим образом: .

Поскольку , то имеет место , т.е. .

Следовательно, для доказательства неравенства , необходимо показать, что . С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что . Если при этом еще учесть, что , то левая часть уравнения 8 неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения 8.

Так как , то

.

Однако известно, что . Отсюда следует, что , т.е. правая часть уравнения 8 не превосходит . Ранее было доказано, что левая часть уравнения 8 неотрицательна, поэтому равенство в 8 может быть только в том случае, когда обе его части равны , а это возможно лишь при .

Ответ. .

Пример 35 Решить уравнение

Решение. Обозначим и . Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем . Отсюда следует, что . C другой стороны имеет место . Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ. .

Пример 36 Решить уравнение:

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Ответ. .

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Не всякое уравнение в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций и , как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке , то при наличии у уравнения корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если же функция ограничена сверху, причем , а функция ограничена снизу, причем , то уравнение равносильно системе уравнений

Пример 37 Решить уравнение

Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду

и решим его как квадратное относительно . Тогда получим,

Решим первое уравнение совокупности. Учтя ограниченность функции , приходим к выводу, что уравнение может иметь корень только на отрезке . На этом промежутке функция возрастает, а функция убывает. Следовательно, если это уравнение имеет корень, то он единственный. Подбором находим .

Ответ. .

Пример 38 Решить уравнение

Решение. Пусть , и , тогда исходное уравнение можно записать в виде функционального уравнения . Поскольку функция нечетная, то . В таком случае получаем уравнение .

Так как , и монотонна на , то уравнение равносильно уравнению , т.е. , которое имеет единственный корень .

Ответ. .

Пример 39 Решить уравнение .

Решение. На основании теоремы о производной сложной функции ясно, что функция убывающая (функция убывающая, возрастающая, убывающая). Отсюда понятно, что функция определенная на , убывающая. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня. Так как , то

Ответ. .

Пример 40 Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим уравнение на трех промежутках.

а) Пусть . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению . Которое на промежутке решений не имеет, т. к. , , а . На промежутке исходное уравнение так же не имеет корней, т. к. , а .

б) Пусть . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

корнями которого на промежутке являются числа , , , .

в) Пусть . Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению

Которое на промежутке решений не имеет, т. к. , а . На промежутке уравнение так же решений не имеет, т. к. , , а .

Ответ. , , , .

Метод симметрии

Метод симметрии удобно применять, когда в формулировке задания присуствует требование единственности решения уравнения, неравенства, системы и т.п. или точное указание числа решений. При этом следует обнаружить какую-либо симметрию заданных выражений.

Характеристики

Список файлов курсовой работы