85701 (612554)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.
Курсовая работа
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-31
Зелюткина В.И.
Научный руководитель: профессор,
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры алгебры и геометрии
Монахов В.С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса
2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса
3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса
Заключение
Список литературы
Введение
Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:
A. Пусть 
- конечная группа и 
. Тогда и только тогда в группе все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:
1) - 2-группа;
2) 
- группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка 
, где 
- показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;
3) 
.
1. 
- наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы 
также принадлежит .
2. , то ---
-свободна.
3. и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа 
.
4. - разрешимая группа и , то 2-длина группы не превосходит 1.
5. - разрешимая группа и . Если и силовская 2-подгруппа 
из неабелева, то центр 
совпадает с центром .
6. - разрешимая группа и 
. Тогда и только тогда , когда - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .
Лемма 7. и - простая неабелева группа, то 
.
8. и 
, то 
.
9. 
для 
.
Во второй - конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:
B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:
1) 
или 
, где 
- 5-группа;
2) 
, где - 3-группа.
C. - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и 
- дисперсивная группа порядка 
, где 
.
1. конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.
2. - конечная группа и 
- простое число, делящее порядок . Если в нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то -нильпотентна.
3. 
- сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой 
и циклической силовской 
-подгруппой 
, то 
.
4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.
5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.
6. группа порядка 
, где и - простые числа, и не делит 
, нильпотентна.
7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.
8. 
- подгруппа примарного индекса 
конечной группы , то 
.
9. - группа порядка 
, где и - простые числа, и 
. Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда 
либо -группа, либо группа Шмидта 
, где - элементарная абелева, или группа кватернионов.
10. - группа порядка , где и - простые числа, и 
. Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа 
либо -группа, либо изоморфна 
и 
делит .
Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:
D. класс 
замкнут относительно прямых произведений и 
разрешим. Если в конечной неразрешимой группе 
нет неединичных нормальных -подгрупп, то изоморфна одной из следующих групп: 
и 
- простое число или 9; 
или 
и 
.
1. конечная неразрешимая группа принадлежит 
, то 
, где 
, а 
и 
.
2. класс замкнут относительно прямых произведений, и - неразрешимая группа, принадлежащая . Если 
- минимальная нормальная в подгруппа, то либо 
, либо - простая неабелева группа, 
и 
, где 
.
3. класс 
разрешим и - простая неабелева группа из , то:
1) 
, 
, 
и 
или - простое число;
2) 
, 
и 
- простое число;
3) 
, 
, 
;
4) 
, 
или 
, 
или 
соответственно.
В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.
![]()
1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса
Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая
A. Пусть - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:
1) - 2-группа;
2) - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;
3) .
Здесь 
- центр группы , 
- наибольшая нормальная в подгруппа нечетного порядка. Через обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.
1. - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы также принадлежит осуществляется проверкой.
Отметим, что знакопеременная группа
, но 
не содержится в . Поэтому не является формацией и не является классом Фиттинга.
Через обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа называется -свободной, если в ней нет подгрупп и таких, что нормальна в и 
изоморфна .
2. , то --- -свободна.
. Допустим противное, т.е. предположим, что существует секция , изоморфная . Тогда существует подгруппа 
индекса 2 в и изоморфна 
. Так как несверхразрешима, то 
- несверхразрешимая подгруппа четного в индекса. Противоречие. Лемма доказана.
Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы 
и подгруппы 
обозначается через 
.
3. и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа .
Если не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта 
, см. Error: Reference source not found, с. 192. Так как 
несверхразрешима, то индекс в группе нечетен, и - силовская 2-подгруппа из . Из свойств подгрупп Шмидта следует, что элементарная абелева или типа 
.
4. - разрешимая группа и , то 2-длина группы не превосходит 1.
следует из леммы 3 и леммы 3.4 из Error: Reference source not found.
5. - разрешимая группа и . Если и силовская 2-подгруппа из неабелева, то центр совпадает с центром .
Если G - 2-группа, то лемма справедлива.
Пусть не 2-группа. По лемме 4 подгруппа 
нормальна в . Через обозначим 
-холловскую подгруппу из . Так как 
имеет четный индекс, то сверхразрешима и 
. Теперь 
содержится в центре , а поскольку , то - 2-группа. Группа не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку не 2-нильпотентна, то индекс 
нечетен и - силовская 2-подгруппа из . Следовательно, содержится в и по лемме 2.2 Error: Reference source not found получаем, что содержится в . Лемма доказана.
6. - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .
Пусть - разрешимая группа, и . Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа нормальна в и является элементарной абелевой подгруппой. Так как - не 2-группа, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - силовская 2-подгруппа из . Подгруппа несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и 
силовская в . Из свойств групп Шмидта следует, что - минимальная нормальная в подгруппа порядка , и - показатель 2 по модулю , где делит 
. Поэтому - минимальная нормальная в подгруппа.
Централизатор 
содержит и нормален в , поэтому 
и 
. Значит самоцентрализуема.
Пусть - -холловская подгруппа в . Тогда - максимальная в подгруппа и совпадает со своим нормализатором. Предположим, что существует неединичный элемент 
в такой, что 
не содержится в . Так как 
и содержится в 
, то 
и 
. Пусть 
. Тогда 
, а по теореме Машке в существует подгруппа такая, что 
и допустима относительно 
, т.е. 
. Но индекс подгруппы 
четен поэтому эта подгруппа сверхразрешима и 
. Теперь 
централизует всю силовскую подгруппу , противоречие.
Следовательно, 
содержится в для всех неединичных элементов 
из и - группа Фробениуса с ядром , см. Error: Reference source not found, с.630.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
