85701 (612554), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть - произвольный нечетный делитель порядка группы , и пусть - -холловская подгруппа из . Так как самоцентрализуема, то не 2-нильпотентна и в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку не 2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и - элементарная абелева подгруппа порядка . Из свойств групп Шмидта следует, что - показатель 2 по модулю . Необходимость доказана.

Обратно, пусть - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная в подгруппа порядка где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка . Пусть - произвольная подгруппа из . Тогда либо , либо , либо , либо - группа Фробениуса с ядром . Если , то индекс нечетен. Если или , то 2-нильпотентна. Пусть - группа Фробениуса и не содержится в . Поскольку не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная в силовская подгруппа порядка , а - циклическая -подгруппа. Так как - элементарная абелева, то из свойств группы Шмидта вытекает, что - показатель 2 по модулю , значит и , т.е. . Лемма доказана полностью.

Следствие. Пусть - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда каждая подгруппа из четного индекса является 2-подгруппой или группой нечетного порядка.

1. Пусть - элементарная абелева группа порядка . В группе ее автоморфизмов существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа порядка см. Error: Reference source not found, с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7. и - простая неабелева группа, то .

Если силовская 2-подгруппа в типа то по теореме из Error: Reference source not found. Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу , где и . Если , то - несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно, . В силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам и .

Рассмотрим . Если не простое, то содержит подгруппу , , четного индекса, которая несверхразрешима. Значит, - простое. Несверхразрешимыми в являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера Error: Reference source not found следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через обозначим разрешимый радикал группы .

8. и , то .

Пусть - минимальная нормальная в подгруппа. Тогда . Если , то индекс в четен и должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому - простая подгруппа и изоморфна или . Теперь нечетен, и - подгруппа из .

Если , то , поэтому .

Пусть , - простое. Так как - циклическая группа порядка , то либо совпадает с , либо G совпадает с . Пусть и - подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм группы централизует , см. Error: Reference source not found, с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе группы есть подгруппа индекса 2 в , допустимая относительно . Теперь - - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в и не принадлежит .

9. для .

Пусть - подгруппа четного индекса в группе , где , и пусть - центральная инволюция в . Если , то - подгруппа в четного индекса. Так как , то сверхразрешима, поэтому и сверхразрешима.

Пусть не принадлежит . Тогда . Допустим, что несверхразрешима. Так как - подгруппа из , то из доказательства леммы 7 следует, что изоморфна или . Но теперь силовская 2-подгруппа в элементарная абелева, противоречие.

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале - разрешимая группа, и . Если - не 2-группа, то легко проверить, что и по лемме 6 группа из пункта 2 теоремы.

Пусть неразрешима. Если , то по лемме 8 теорема верна. Пусть . Если разрешима, то разрешима и группа , противоречие. Следовательно, подгруппа имеет четный индекс в группе . Так как сверхразрешима и , то - 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть - централизатор подгруппы в группе .

Для каждого нечетного простого подгруппа имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому для всех нечетных и индекс в группе четен или равен 1. Если , то в есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит, и содержится в центре .

Если , то - квазипростая группа и не изоморфна . Так как , то по лемме 8 группа изоморфна или . Теперь по теореме из Error: Reference source not found, с.646 группа изоморфна или .

Пусть - собственная в подгруппа. Тогда имеет нечетный индекс и . Так как - собственная в подгруппа, то из леммы 8 получаем, что изоморфна , a изоморфна . Противоречие. Теорема доказана полностью.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1) или , где - 5-группа;

2) , где - 3-группа.

C. - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и - дисперсивная группа порядка , где .

Далее, если , то

и делит . Если , то

группа Шмидта, и Q - элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь - наибольшая нормальная в -подгруппа; - подгруппа Фиттинга группы ; - циклическая группа порядка .

1. конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна, и -нильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовской -подгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

2. - конечная группа и - простое число, делящее порядок . Если в нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то -нильпотентна.

Если - собственная подгруппа в группе , то удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппа -нильпотентна. Теперь группа либо -нильпотентна, либо -замкнутая группа Шмидта (см. Error: Reference source not found, с. 192). Последнее исключается условием леммы.

3. - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и циклической силовской -подгруппой , то .

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как - главный фактор, то

Определения дисперсивных групп см. в Error: Reference source not found, с.251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и - наименьшее простое число, делящее порядок . По лемме 3 в группе нет -замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому -нильпотентна по лемме 2. По индукции нормальное -дополнение в дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть - недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа , которая является группой Шмидта. Так как бипримарна, а индекс в группе по условию леммы примарен, то группа либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка , где и - простые числа, и не делит , нильпотентна.

Пусть - рассматриваемая группа. Так как сверхразрешима и , то в имеется нормальная подгруппа порядка . Теперь изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы , которая является циклической порядка . Поскольку не делит , то силовская -подгруппа из содержится в . Теперь лежит в центре . Факторгруппа нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и .

теоремы B. Пусть - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная силовская 2-подгруппа из ; подгруппа - циклическая. Поскольку не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т.е. , где - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из и является холловской подгруппой в .

По теореме 2.1 Error: Reference source not found подгруппа содержит нормальную в группе подгруппу такую, что факторгруппа изоморфна

В факторгруппе по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В и имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса , в связи с чем данная группа также исключается.

Характеристики

Список файлов курсовой работы