85701 (612554), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пусть изоморфна . Группа допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно: (см. Error: Reference source not found, с.73). Поэтому - 5-группа, изоморфна и имеет порядок 5.

Предположим вначале, что - неабелева группа. Через обозначим центр . По индукции факторгруппа изоморфна

Где

Поскольку - собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь . Подгруппа характеристична в , a нормальна в . Поэтому нормальна в . Из простоты следует, что . Значит, , где . Л Пусть теперь - абелева группа. Так как подгруппа имеет индекс 20 в группе , то - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому и , т.е. лежит в центре .

Если , то группа квазипроста, и или по Error: Reference source not found, c.646. Но в этом случае . Значит, коммутант - собственная в подгруппа. По индукции

Так как

то . По свойству коммутантов . Следовательно,

Случай рассмотрен полностью.

Пусть изоморфна . Группа допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: . Поэтому - 5-группа, изоморфна , и имеет порядок 5.

Предположим вначале, что - неабелева группа, и пусть - центр . По индукции фактор-группа изоморфна

Поскольку - собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа характеристична в , а подгруппа нормальна в , поэтому нормальна в . Кроме того,

Следовательно, , где .

Пусть теперь - абелева группа. Так как имеет индекс 40 в группе , то - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому и нормальная в подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит, и лежит в центре . Теперь

и для инволюции подгруппа нормальна в . Следовательно,

и факторгруппа проста.

Если , то группа квазипроста, и по Error: Reference source not found, с.646. Но в этом случае .

Пусть коммутант - собственная в подгруппа. По индукции , где изоморфна или , а

Так как

то . По свойству коммутантов , значит,

Так как , то подгруппа изоморфна и не изоморфна .

Осталось рассмотреть случай . Группа допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно: . Поэтому - 3-группа, изоморфна и - циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что - неабелева группа. Через обозначим центр . По индукции факторгруппа изоморфна , где

Поскольку - собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа характеристична, в а подгруппа нормальна в . Поэтому нормальна в . Из простоты следует, что . Следовательно, , где .

Пусть теперь - абелева группа. Так как подгруппа имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но , где - подгруппа порядка 7, а - 3-группа. Отсюда следует, что нильпотентна и абелева, а поэтому , т.е. лежит в центре .

Если , то группа квазипроста, и по Error: Reference source not found, с.646. В этом случае .

Значит, коммутант - собственная в подгруппа. По индукции

Где

Так как

По свойству коммутантов . Следовательно,

где .

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть - разрешимая группа порядка , где - различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из сверхразрешима. Предположим, что -нильпотентна. Тогда холловская -подгруппа нормальна в . Если сверхразрешима, то дисперсивна. Если несверхразрешима, то все собственные подгруппы из имеют в группе непримарные индексы. Поэтому - минимальная несверхразрешимая группа. Теперь дисперсивна, поэтому дисперсивна и .

Если группа содержит нормальную силовскую -подгруппу , то , где - холловская -подгруппа. Так как дисперсивна, то дисперсивна и . Противоречие.

Пусть теперь группа не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из не нормальна в . Предположим, что . Так как не -нильпотентна, то в имеется -замкнутая подгруппа Шмидта , где - некоторая -группа, и или . Из минимальности по лемме 3 получаем, что несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и , где - примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 Error: Reference source not found подгруппу можно выбрать так, что - холловская -подгруппа в группе . Если нормальна в , то - нормальная в холловская подгруппа. Так как либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то - дисперсивна, поэтому дисперсивна и . Противоречие.

Следовательно, не нормальна в и подгруппа не -нильпотентна. Так как дисперсивна, то нормальна в . По лемме 2 в группе имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Но циклическая, поэтому - простое число и по лемме 3 подгруппа сверхразрешима и есть -группа. Значит, , где - силовская -подгруппа в , a - силовская -подгруппа.

Рассмотрим подгруппу . Она дисперсивна. Если нормальна в , то дисперсивна. Противоречие. Значит, нормальна в .

Итак, в группе холловские подгруппы имеют строение: сверхразрешима с циклической силовской -подгруппой ; с силовской -подгруппой шмидтовского типа; - подгруппа Шмидта.

В разрешимой группе имеется нормальная подгруппа простого индекса. Пусть . Если бипримарна или примарна, то дисперсивна. Пусть трипримарна. По индукции дисперсивна, а так как в нет нормальных силовских подгрупп, то .

Если и , то нильпотентна как подгруппа группы Шмидта и нормальна в . Если и , то

также нильпотентна, и нормальна в .

Итак, при в имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть . Если , то

нильпотентна и нормальна в . Пусть . Тогда

Теперь нормальна, в . Если , то и нормальна в . Если , то - собственная подгруппа в группе Шмидта . Поэтому нильпотентна, и

т.е. нормальна в . Противоречие.

Осталось рассмотреть случай . Так как нормальна в , и циклическая, то в имеется нормальная подгруппа порядка . Теперь - абелева группа порядка, делящего . и в случае в группе имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от . Но эта ситуация уже рассмотрена. Если , то к фактор-группе применима индукция, по которой дисперсивна. Так как - подгруппа из центра , то и вся группа дисперсивна.

Лемма 7 доказана полностью.

8. - подгруппа примарного индекса конечной группы , то .

Пусть - силовская -подгруппа группы , содержащая -подгруппу . Так как , то . Теперь для любого элемента , где , , получаем

и - -группа.

9. - группа порядка , где и - простые числа, и . Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда либо -группа, либо группа Шмидта , где - элементарная абелева, или группа кватернионов.

Пусть не является силовской в подгруппой и - силовская в -подгруппа. Тогда - подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в подгруппы . По условию сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и

т.е. и абелева. Итак, в силовской -подгруппе из все собственные подгруппы абелевы.

Так как не -нильпотентна, то в ней имеется -замкнутая подгруппа Шмидта . Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если , то силовская -подгруппа в циклическая, а так как , то нормальна в . Противоречие.

Следовательно,

По лемме 8 подгруппа максимальна в .

Если - абелева, то - элементарная абелева группа порядка и - показатель числа по модулю .

Пусть - неабелева группа. Так как сопряжена , то все собственные в подгруппы абелевы, т.е. - группа Миллера-Морено. Если - неабелева группа, порядка и экспоненты , то из свойств групп Шмидта следует, что делит . Так как , то , . Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно, - группа кватернионов порядка 8 и .

Факторгруппа - q-замкнута по лемме 3.2 Error: Reference source not found, поэтому в каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку , то из Error: Reference source not found следует, что имеет простой порядок, а так как не входит в , то

есть группа Шмидта.

10. - группа порядка , где и - простые числа, и . Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа либо -группа, либо изоморфна и делит .

Так как , то группа не -нильпотентна, поэтому в ней существует -замкнутая подгруппа Шмидта . По лемме 3 подгруппа несверхразрешима а по условию леммы ее индекс примарен.

Если , то - силовская -подгруппа группы , и нормальна в по лемме 3.2 Error: Reference source not found. Поэтому и - -группа.

Пусть . Тогда - циклическая силовская -подгруппа группы . Будем считать, что не -замкнута, т.е. не является силовской в подгруппой. Для максимальной в подгруппы индекс подгруппы , бипримарен, поэтому сверхразрешима. Так как , то нормальна в и

Характеристики

Список файлов курсовой работы