85539 (612509), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Перемножуючи матриці, одержимо систему для визначення координат власного вектора у:

(1)

Система (1) — однорідна. З точністю до коефіцієнта пропорційності розв’язки її можуть бути знайдені таким чином. Покладемо y_n=1. Тоді послідовно одержимо:

(2)

Таким чином, шуканий власний вектор є

.

Позначимо тепер через х власний вектор матриці А, що відповідає значенню . Тоді, очевидно, маємо:

.

Перетворення M₁, здійснене над y, дає:

Таким чином, перетворення М₁ змінює лише першу координату вектора. Аналогічно перетворення М₂ змінить лише другу координату вектора М₁у і т.д. Повторивши цей процес n-1 разів, одержимо шуканий власний вектор х матриці А.

1. Метод А. Н. Крилова

Приведемо метод розгортання вікового визначника, що належить А. Н. Крилову [1] і заснований на істотно іншій ідеї, ніж метод А. М. Данілевського.

Нехай

(1)

— характеристичний поліном (з точністю до знаку) матриці А. Згідно тотожності Гамільтона-Келі, матриця А обертає в нуль свій характеристичний поліном; тому

. (2)

Візьмемо тепер довільний ненульовий вектор

.

Множачи обидві частини рівності (2) справа на , одержимо:

. (3)

Покладемо:

; (4)

тоді рівність (3) набуває вигляду

(5)

або

(5’)

Де

Отже, векторна рівність (5) еквівалентна системі рівнянь

(6)

з якої, взагалі кажучи, можна визначити невідомі коефіцієнти .

Оскільки на підставі формули (4)

,

то координати вектора послідовно обчислюються за формулами

(7)

Таким чином, визначення коефіцієнтів p_j характеристичного полінома (1) методом А. Н. Крилова зводиться до розв’язання лінійної системи рівнянь (6), коефіцієнти якої обчислюються за формулами (7), причому координати початкового вектора

довільні. Якщо система (6) має єдиний розв’язок, то її корені р₁, р₂ . . ., р_n є коефіцієнтами характеристичного полінома (1). Цей розв’язок може бути знайдено, наприклад, методом Гауса. Якщо система (6) не має єдиного розв’язку, то завдання ускладнюється. В цьому випадку рекомендується змінити початковий вектор.

Приклад. Методом А. Н. Крилова знайти характеристичний поліном матриці

Розв’язання. Виберемо початковий вектор

Користуючись формулами (7), визначимо координати векторів

.

Маємо:

Складемо систему (6):

яка в нашому випадку має вигляд

Звідси

Розв’язавши цю систему, одержимо:

.

Отже

,

що співпадає з результатом, знайденим по методу А. М. Данілевського.

Обчислення власних векторів по методу А. Н. Крилова.

Метод А. Н. Крилова дає можливість просто знайти відповідні власні вектори [1].

Для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний поліном

має різні корені . Припустимо, що коефіцієнти полінома (1) і його корені визначені. Потрібно знайти власні вектори , що відповідають відповідно власним значенням .

Нехай — вектори, використані в методіА.Н. Крилова для знаходження коефіцієнтів . Розкладаючи вектор y⁽⁰⁾ по власних векторах , матимемо:

(2)

де — деякі числові коефіцієнти. Звідси, враховуючи, що

,

одержимо:

(3)

Нехай

(4)

— довільна система поліномів. Складаючи лінійну комбінацію векторів з коефіцієнтами , в силу співвідношень (2) і (3) знаходимо:

.(5)

Якщо покласти

,(6)

то, очевидно

при

І

Формула (5) при цьому приймає вигляд

. (7)

Таким чином, якщо , то одержана лінійна комбінація векторів дає власний вектор х^(і) з точністю до числового множника.

Коефіцієнти можуть бути легко визначені за схемою Горнера

1. Метод Леверрьє

Цей метод [1] розкриття вікового визначника заснований на формулах Ньютона для сум степенів коренів алгебраїчного рівняння.

Нехай

(1)

— характеристичний поліном даної матриці та — повна сукупність його коренів, де кожен корінь повторюється стільки разів, яка його кратність.

Покладемо

.

Тоді при справедливі формули Ньютона

. (2)

Звідси

(3)

Якщо суми відомі, то за допомогою формул (3) можна крок за кроком визначити коефіцієнти характеристичного полінома (1).

Суми обчислюються таким чином: для маємо:

Тобто

(4)

Далі, як відомо, є власними значеннями матриці . Тому

тобто якщо

то

. (5)

Степені знаходяться безпосереднім перемножуванням.

Таким чином, схема розкриття вікового визначника по методу Леверрьє вельми проста, а саме: спочатку обчислюються — степені даної матриці А, потім знаходяться відповідні s_k - суми елементів головних діагоналей матриць , нарешті, по формулах (3) визначаються шукані коефіцієнти .

Метод Леверрьє вельми трудомісткий, оскільки доводиться підраховувати високі степені даної матриці. Достоїнство його — нескладна схема обчислень і відсутність виняткових випадків.

Приклад. Методом Леверрьє розгорнути характеристичний визначник матриці

Розв’язання. Утворюємо степені матриці А. Маємо:

Відмітимо, що не було необхідності обчислювати повністю, досить було знайти лише головні діагональні елементи цієї матриці.

Звідси

Отже, по формулах (3) матимемо:

Таким чином, ми одержуємо вже відомий результат:

1. Метод невизначених коефіцієнтів

Розгортання вікового визначника можна також здійснити за допомогою знаходження досить великої кількості його числових значень.

Нехай

(1)

є віковим визначником матриці А, тобто

.

Якщо в рівності (1) послідовно покласти , то для коефіцієнтів одержимо систему лінійних рівнянь

(2)

Звідси

(3)

І

З системи (3) можна визначити коефіцієнти характеристичного полінома (1).

Вводячи матрицю

і вектори

систему (3) можна записати у вигляді матричного рівняння

(4)

звідси

(5)

Відмітимо, що обернена матриця залежить тільки від порядку n вікового визначника і може бути знайдена наперед, якщо доводиться мати справу з масовим розкриттям вікових визначників одного і того ж порядку.

Таким чином, застосування цього методу зводиться до обчислення числових визначників

і знаходження розв’язку стандартної лінійної системи (4).

1. Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці

Для відшукання першого власного значення дійсної матриці А можна вказати дещо інший ітераційний процес, що є іноді вигіднішим. Метод [1] заснований на утворенні скалярних добутків

і

де А' — матриця, транспонована з матрицею А, і у₀ — вибраний яким-небудь чином початковий вектор.

Переходимо тепер до викладу самого методу.

Нехай А — дійсна матриця і — її власні значення, які передбачаються різними, причому

Візьмемо деякий ненульовий вектор у₀ і за допомогою матриці А побудуємо послідовність ітерацій

Для вектора у₀ утворюємо також за допомогою транспонованої матриці А' другу послідовність ітерацій

де .

Згідно з теоремою 1 розділу X § 16 в просторі Е_п виберемо два власні базиси і відповідно для матриць А і А', що задовольняють умовам біортонормування:

де і . Позначимо координати вектора у₀ в базисі через , а в базисі — через тобто

і

Звідси

І

Складемо скалярний добуток

Звідси через умову ортонормування знаходимо:

Аналогічно

Отже, при маємо:

Таким чином,

Цей метод особливо зручний для симетричної матриці А, оскільки тоді А'=А, і ми маємо просто

і, отже, тут потрібно побудувати тільки одну послідовність .

Приклад. Методом скалярних добутків знайти найбільше власне значення матриці

Розв’язання. Оскільки матриця А — симетрична, то досить побудувати лише одну послідовність ітерацій .

Вибираючи за початковий вектор

можна використати результати таблиці 27. Наприклад, при k = 5 і k = 6 маємо:

і

Звідси

І

Отже,

що співпадає в написаних знаках із значенням, знайденим раніше за допомогою А¹⁰у₀.

Зауваження. Методи знаходження найбільшого по модулю кореня характеристичного рівняння можна використовувати для знаходження найбільшого по модулю кореня алгебраїчного рівняння

Дійсно, рівняння (9), як легко безпосередньо перевірити, є віковим для матриці

тобто рівняння (9) еквівалентно рівнянню

Якщо рівняння (9) не має нульового кореня, то аналогічним способом може бути визначений найменший по модулю корінь цього рівняння, а саме, при ,вважаючи , одержимо:

Зворотна величина найбільшого по модулю кореня рівняння (10), очевидно, дасть нам найменший по модулю корінь рівняння (9).

Знаходження другого власного значення матриці і другого власного вектора.

Нехай власні значення матриці А такі, що

тобто є два відмінних один від одного, найбільших по модулю власних значення і матриці А. У такому разі прийомом, аналогічним розібраному вище (§ 11), можна приблизно знайти друге власне значення і власний вектор , що відповідає йому.

З формули (2) маємо:

І

Виключимо з формул (2) і (3) члени, що містять . Для цього від рівності (3) віднімемо рівність (2), помножену на . В результаті одержимо:

Введемо позначення

причому вираз (5) називатимемо - різницею від . Якщо , то очевидно, що перший доданок в правій частині рівності (4) є її головним членом при , і ми маємо наближену рівність

Звідси

Нехай

Характеристики

Список файлов курсовой работы