85539 (612509), страница 3
Текст из файла (страница 3)
з двома зведеними рядками. Над останньою матрицею проробляємо ті ж операції. Продовжуючи цей процес, ми, нарешті, одержимо матрицю Фробеніуса
якщо, звичайно, всі n - 1 проміжних перетворень можливі. Весь процес може бути оформлений в зручну обчислювальну схему, складання якої покажемо на наступному прикладі.
Приклад. Привести до вигляду Фробеніуса матрицю
.
Розв’язання.
Обчислення розташовуємо в таблицю 1.
| Номер рядка |
| Рядки матриці | Σ | Σ’ | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |||||
| 1 2 3 4 | 1 2 3 4 | 2 1 2 3 | 3 2 1 2 | 4 3 2 1 | 10 8 8 10 | |||
| І |
| –2 | –1,5 | 0,5–1 | –0,5 | –5 | ||
| 5 6 7 8 | 4 3 2 1 | –5 2 1 0 | –2,5 –2 0,5 0 | 1,5 1 0,5 1 | 2,5 2 1,5 0 | –3,5 –1 3,5 1 | –5 –2 3 0 | |
| 7’ | –24 | –15 | 11 | 19 | –9 | |||
| ІІ |
| –1,600 | –0,067 –1 | 0,733 | 1,267 | –0,600 | ||
| 9 | –24 | –1 | 0,167 | –0,333 | –0,667 | –1,833 | –2 | |
| 10 | –15 | 1,2 | 0,133 | –0,467 | –0,533 | 0,333 | 0,2 | |
| 11 | 11 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 12 | 19 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 10’ | 6 | 5 | 34 | 24 | 69 | |||
| ІІІ |
| 0,167–1 | –0,833 | –5,667 | –4,000 | –11,500 | ||
| 13 | 6 | –0,167 | 1 | 5,333 | 3,333 | 9,500 | 9,667 | |
| 14 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 15 | 34 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 16 | 24 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 13’ | 4 | 40 | 56 | 20 | 120 | |||
У рядках 1-4 таблиці 1 розміщуємо елементи 
даної матриці і контрольні суми 
. Відзначаємо елемент 
, що належить третьому стовпцю (відмічений стовпець). У рядку 1 записуємо елементи третього рядка матриці 
, що обчислюються за формулами (4) і (4'):
Сюди ж (рядок 1 таблиці 1) поміщаємо елемент
що одержується аналогічним прийомом з контрольного стовпця Σ. Число -5 повинно співпасти з сумою елементів рядка I, що не входять в контрольний стовпець (після заміни елементу 
на -1). Для зручності число -1 записуємо поряд з елементом 
, відокремлюючи від останнього межею.
У рядках 5-8 в графі М-1 виписуємо третій рядок матриці М-1, яка в силу формули (7) співпадає з четвертим рядком початкової матриці А. У рядках 5-8 у відповідних стовпцях виписуємо елементи матриці
B = АМ3,
що обчислюються за двочленними формулами (6) для невідмічених стовпців і по одночленній формулі (6') для відміченого стовпця. Наприклад, для першого стовпця маємо:
і т.д.
Перетворені елементи третього (відміченого) стовпця отримуються за допомогою множення початкових елементів на = 0,5. Наприклад,
Відмітимо, що останній рядок матриці В повинен мати вигляд
0 0 1 0.
Для контролю поповнюємо матрицю В перетвореними по аналогічних двочленних формулах з 
відповідними елементами стовпця Σ. Наприклад,
Отримані результати записуємо в стовпці Σ' у відповідних рядках. Додавши до них елементи третього стовпця, одержимо контрольні суми
для рядків 5-8 (стовпець Σ).
Перетворення 
,що проведене над матрицею і що дає матрицю 
, змінює лише третій рядок матриці В, тобто сьомий рядок таблиці. Елементи цього перетвореного рядка 7' виходять по формулі (10), тобто є сумами парних добутків елементів стовпця 
, що знаходяться в рядках 5-8, на відповідні елементи кожного із стовпців матриці В. Наприклад
і т. д.
Такі ж перетворення проводимо над стовпцем Σ:
В результаті одержуємо матрицю C, що складається з рядків 5, 6, 7', 8 з контрольними сумами Σ, причому матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок 8. Цим закінчується побудова першого подібного перетворення 
.
Далі, прийнявши матрицю C за вихідну і виділивши елемент 
(другий стовпець), продовжуємо процес аналогічним чином. В результаті одержуємо матрицю 
, елементи якої розташовані в рядках 9, 10', 11, 12, що містить два зведені рядки. Нарешті, відправляючись від елементу 
(перший стовпець) і перетворюючи матрицю D в подібну їй, одержуємо шукану матрицю Фробеніуса Р, елементи якої записані в рядках 13', 14, 15, 16. На кожному етапі процесу контроль здійснюється за допомогою стовпців Σ і Σ'.
Таким чином, матриця Фробеніуса буде мати вигляд:
Звідси віковий визначник, приведений до нормального виду Фробеніуса, запишеться так:
або
.
Виняткові випадки в методі А. М. Данілевського.
Процес А. М. Данілевського [1] відбувається без жодних ускладнень, якщо всі елементи, що виділяються, відмінні від нуля. Ми зупинимося зараз на виняткових випадках, коли ця вимога порушується.
Припустимо, що при перетворенні матриці А в матрицю Фробеніуса Р ми після декількох кроків пришли до матриці вигляду
,
причому виявилось, що 
.
Тоді продовжувати перетворення по методу А. М. Данілевського не можна. Тут можливі два випадки.
1. Нехай якийсь елемент матриці D, що стоїть ліворуч нульового елемента 
, відмінний від нуля, тобто 
, де
. Тоді цей елемент висуваємо на місце нульового елементу , тобто переставляємо (k-1) -й і k -й стовпці матриці D і одночасно переставляємо її (k-1) -й і l-й рядки. Можна довести, що одержана нова матриця D' буде подібна колишній. До нової матриці застосовуємо метод А.М.Данілевського.
2. Нехай 
, тоді D має вигляд
У такому разі віковий визначник det(D - Е) розпадається на два визначники
det (D - Е) = det (D1 - Е) det (D2 - Е).
При цьому матриця D2 вже приведена до канонічної форми Фробеніуса і тому det (D2 - Е) обчислюється відразу. Залишається застосувати метод А. М. Данілевського до матриці D1.
Обчислення власних векторів по методу А. М. Данілевського.
Метод А. М. Данілевського [1] дає можливість визначати власні вектори даної матриці А, якщо відомі її власні значення. Неай — власне значення матриці А, а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса Р.
Знайдемо власний вектор 
матриці Р, відповідний даному значенню : Ру = у. Звідси (Р - Е) у = 0 або
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
