46390 (607835), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пусть задана некоторая функция в СДНФ, которую требуется минимизировать:

fсднф = x₁ x₂ x₃ + x₁ x₂ x₃ + x₁ x₂ x₃ ( 1.5)

1-й этап - производим все возможные склеивания членов заданной функции. В общем случае эта процедура осуществляется за несколько шагов, в результате каждого из которых происходит понижение ранга склеиваемых членов на единицу. На первом шаге склеиваются конституенты:

fпр = x₁ x₃ + x₂ x₃ + x₁x₂ (1.6)

Затем производится второй шаг испытания на склеивание всех членов функции в промежуточной форме. Рассматривая соотношение (1.6), убеждаемся, что все его члены изолированы. Следовательно, полученная промежуточная форма является сокращенной ДНФ исходной функции (сДНФ). Отметим, что все конституенты функции (1.5) участвовали хотя бы в одном склеивании, поэтому ни в сокращенной, ни тем более в тупиковой форме членов максимального ранга не будет:

fсднф = x₁x₃ + x₂x₃ + x₁x₂ (1.7)

2-й этап - осуществляется проверка каждой простой импликанты в сДНФ с целью выявления и удаления лишних членов. Проверка состоит в следующим. На значение истинности функции влияет только та импликанта, которая сама равна 1. любая импликанта становится равной 1 лишь на одном, вполне определенном наборе значений истинности своих аргументов. Но если именно на этом наборе суммы остальных членов тоже обращается в 1, то рассматриваемая импликанта не влияет на значение истинности функции даже в этом единственном случае, т.е. является лишней. Применим это правило к проверке членов функции в сДНФ (1.7):

1) x₁x₃ = 1 при x₁ = 0, x₃ = 1; сумма остальных членов на этом же наборе равна x₂1 + 1x₂ = 1; следовательно, проверяемый член - лишний;

2) x₂x₃ = 1 при x₂ = 0, x₃ = 1; сумма остальных членов на этом же наборе равна x₁1 + x₁0 = x₁ ; следовательно, проверяемый член не является лишним;

3) x₁x₂ = 1 при x₁ = 0, x₂ = 1; сумма остальных членов на этом же наборе равна 1x₃ + 0x₃ = x₃ ; следовательно, проверяемый член не является лишним.

Таким образом, отбросив лишний член, получим тупиковую дизъюнктивную нормальную форму (ТДНФ) исходной функции:

fтднф = x₁x₂ + x₂x₃ (1.8)

Более подробно остановимся на случае, когда лишних членов оказывается больше, например два. Это не означает, что оба лишних члена можно отбросить, так как каждый из них проверялся при вхождении другого в оставшуюся сумму. Следовательно, отбросить наверняка можно только один из них, а затем нужно снова произвести проверку возможности отбросить и второй член.

Следует также остановится подробнее и на случае, когда исходной формой является СКНФ. Методика проведения первого этапа при этом практически не изменяется, но реализация второго этапа имеет свою специфику. На значение истинности функции в конъюнктивной нормальной форме влияет только та имплицента, которая сама равна 0. Но любая имплицента становится нулем только при одном наборе своих аргументов. Следовательно, правило проверки сокращенной КНФ на лишние члены нужно сформулировать таким образом: для каждого члена сокращенной КНФ находится такой набор значений истинности его переменных, который обращает данный член в 0. Далее определяется значение истинности произведения остальных членов на этом же наборе. Если произведение также равно 0, то проверяемый член - лишний.

3-й этап - упрощаем ТДНФ или ТКНФ функции. Применив закон инверсии к первому члену функции в ТКНФ, получим минимальную форму (МФ):

fмф = x₁x₂(x₂ + x₃)

для аппаратурной реализации которой нужной всего семь условий транзисторов. Интересно, что преобразование в минимальную форму ТДНФ функции получается более сложным путем:

fтднф = x₁x₂ + x₂x₃ = (x₁ + x₂)(x₂ + x₂)(x₁ + x₃)(x₂ + x₃) = (x₁ + x₂)(x₁ + +x₃)(x₂ + x₃) = fскнф

Переход от сКНФ к МФ нетрудно осуществить через ТКНФ, как это было сделано выше.

1.4. Расчётно-табличный метод минимизации

Минимизация этим способом отличается от расчётной минимизации только методикой выявления лишних членов в сокращённой Д(К)НФ. Данный метод предложен американским ученым У.Квайном. Первый и третий этапы минимизации в этом случае будут идентичны соответствующим этапам при расчетном методе. Нахождение тупиковой формы (второй этап) производится с помощью специальной таблицы (отсюда название метода), значительно упрощающей обнаружение лишних членов. рассмотрим методику расчетно-табличной минимизации на том же примере, который разбирался нами при расчетном способе, что дает возможность более четко показать как общие черты обоих методов, так и их различия.

Итак, пусть требуется минимизировать функцию (1.5), заданную в СДНФ:

fсднф = x₁x₂x₃ + x₁x₂x₃ + x₁x₂x₃ + x₁x₂x₃

1-й этап - не отличается по содержанию от 1-го этапа при расчетном методе. Поэтому сразу же запишем исходную функцию в сДНФ:

fcднф = x₁x₃ + x₂x₃ + x₁x₂

2-й этап - для выявления возможных лишних членов в сД(К)НФ функции построим таблицу, входными величинами в которой будут конституенты - члены СД(К)НФ и импликанты (имплиценты) - члены сокращенной Д(К)НФ. Поэтому чаще всего такую таблицу называют конституентно-импликантной (имплицентной) матрицей; применяются также названия: таблица Квайна и таблица покрытий. Она имеет число строк, равное количеству импликант (имплицент) в сокращенной Д(К)НФ. Строки делятся на столбцы, число которых берется равным количеству конституент в СД(К)НФ. Поэтому в горизонтальные (строчные) входы таблицы записываются все простые импликанты(имплиценты), а в вертикальные входы - все члены совершенной нормальной формы (см. табл. 1.3).

Таблица 1.3

Таблица Квайна.

Процесс минимизации начинается с последовательного составления каждой импликанты со всеми конституентами. Если какая-либо импликанта является собственной частью некоторой конституенты, то в табличной клетке, соответствующей обоим членам, проставляется любой условный значок (так, в табл.1.3 клетка перечеркивается крест-накрест). Таким образом, значки в каждой строке заполненной таблицы показывают, какие члены совершенной формы функции появятся при развертывании данной импликанты в семейство конституент. В идеальном случае каждая импликанта развертывалась бы только в “свои” конституенты, и в каждом столбце тогда находился бы только один условный значок. Практически этого не происходит, и очень часто одна и та же конституента покрывается в таблице несколькими импликантами. Задача состоит в том, чтобы вычеркиванием некоторых (лишних!) импликантов попытаться оставить в каждой колонке только значок или по крайней мере минимальное число импликант, покрывающих все конституенты. Практически обычно по таблице вначале находится так называемое ядро функции, состоящее из трех импликант (имплицент), каждая из которых осуществляет единственное покрытие некоторой конституенты и поэтому никоим образом не может оказаться в числе лишних.

Возвращаясь к рассматриваемому примеру (см.табл.1.3), констатирует. что в ядро функции входят импликанты x₁x₂ и x₂x₃. Следовательно, остается только проверить возможность вычеркивания импликанты x₁x_3. Ее вычеркивание не нарушает условия о наличии хотя бы одного покрытия каждой конституенты любой импликантой. Следовательно, импликанта x₁x₃ является лишней. Тупиковая дизъюнктивная нормальная форма исходной функции

fтднф = x₁x₂ + x₂x₃ (1.8*)

Сравнение показывает идентичность соотношений (1.8) и (1.8*), что и должно было получиться.

3-й этап - по своему содержанию не отличается от соответствующего этапа при расчетном методе, поэтому сразу запишем минимальную форму исходной функции:

fмф = x₁x₂(x₂+x₃)

1.5. Табличный метод минимизации

При относительно небольшом числе переменных (R6) весьма удобным и наглядным является графическое представление логических функций в виде так называемых карт минтермов. Наиболее распространенной их формой являются карты Карно. На рис.1.2 показаны карты Карно для функций R=2, 3, 4 и 5.

Рис.1.2 Карты Карно и расположение в них минтермов для функций двух (а), трёх (б), четырёх (в) и пяти (г) переменных.

Карта Карно содержит q=2^R клеток, причем каждой клетке соответствует один из q минтермов. Для иллюстрации этого на рис. 1.2 (a-в) в клетках карт Карно записаны соответствующие им минтермы. Если требуется представить на карте Карно логическую функцию, заданную в виде СДНФ, то в клетках карты, соответствующих минтермам, входящим в СДНФ, ставятся 1. Остальные клетки остаются незаполненными или заполняются 0. Примеры графического представления функций, заданных в виде СДНФ, показаны на рис.1.3(a-в).

Рис.1.3 Примеры графического представления логических функций с помощью карт Карно: а) F=AB+AB; б) F=ABC+ABC+ABC+ABC; в) F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.

Каждой клетке карты поставлен также в соответствии один из наборов логических переменных, который определяется номером столбца и строки, на пересечении которых расположена клетка. Например на рис.1.3(в) на пересечении столбца с номером АВ=01 и строки с номером CD=10 расположена клетка, соответствующая набору переменных ABCD = 0110 (минтерм ABCD). Благодаря этому удобно представлять на карте Карно функции, заданные таблицами истинности. Если при i-м наборе переменных значение функции в таблице истинности F=fi=1, то в соответствующей клетке карты Карно ставится 1 (т.е. соответствующий минтерм m_i входит в СДНФ функции). Если же F=f_i=0, то клетка оставляется пустой либо ставится 0 (т.е. соответствующий минтерм не входит в СДНФ функции). Таким образом, между представлением функции в табличной (таблица истинности), алгебраической (в виде сДНФ) и графической (на карте Карно) формах имеется однозначное соответствие.

Логическая функция F на карте Карно представляется совокупностью клеток, заполненных 1, инверсия функции F представляется совокупностью пустых клеток (или заполненных 0). На рис.1.3(a) дано представление в виде карты Карно функции Исключающее ИЛИ F₆ в соответствии с её таблицей истинности. Её инверсия F₆=F₉=AB+AB представляется на этой карте совокупностью пустых клеток.

Для логических функций с числом переменных R6 карты Карно становятся громоздкими (число клеток q64) и не удобными для практического применения. Поэтому использование карты Карно можно рекомендовать при числе переменных * R6.

Рассмотренные выше логические функции были определены, т.е. имели определённое значение f_i=0 или f_i=1, при всех возможных наборах логических переменных. Такие логические функции называются полностью определёнными.

Кроме них имеется большой класс функций, значение которых определено только для части логических наборов переменных. Такие функции называются частично определенными. Наборы переменных, для которых функция определена, называются рабочими, а для которых не определена - безразличными. Значения функции, соответствующие безразличным наборам, будем обозначать в таблицах истинности и на картах Карно знаком “Х”. На практике безразличными являются такие наборы значений логических переменных, которые при работе данного конкретного цифрового устройства никогда не реализуются. Частично определённую функцию можно сделать полностью определенной (доопределить), приписав безразличным наборам какие-либо значения функции: f_i=0 или 1. Обычно доопределение функции проводится таким образом, чтобы упростить её алгебраическое выражение и практическую реализацию.

Логическую функцию большого числа переменных можно представить в виде композиции функций меньшего числа переменных

F(A,B,C,..., N) = AF₀(O,B,C,..., N) + AF₁(1,B,C,..., N)

где А - выделяемая переменная, функции F₀(0,B,C,..., N) и F₁(1,B,C,..., N) получаются из функции F подстановкой значений А=0 и А=1. В качестве выделяемой может использоваться любая переменная. Например:

F = AB+ACD+DE = A(B+DE)+A(CD+DE) = AF₁+AF₀, F= AB+ACD+DE = D(AB+AC) + D(AB+E) = DF₁ + DF₀

Процесс выделения более простых составляющих функции называется декомпозицией. Полученные функции F₀, F₁ могут подвергаться дальнейшей декомпозиции. Таким образом, сложную логическую функцию можно выполнить, последовательно реализуя композицию более простых функций, полученных путем декомпозиции.

2. Возможности программы моделирования Electronics Workbench

2.1 Общие сведения об Electronics Workbench

Electronics Workbench канадской фирмы Interactive Image Technologies разработана достаточно давно и в Росси известны версии 3.0, 4.0, 4.1, 5.0, 5.12 Professional Edition. Программа непрерывно развивается, совершенствуется. Растет библиотека компонент, измерительных приборов, моделирующих функций. Версии 3.0, 4.0 были 16 разрядные, а начиная с Electronics Workbench 4.1 - 32-разрядные. И хотя в последней версии занимаемый объем на диске вырос с 1.4 Мбайт в версии 3.0 до 16 Мбайт в версии 5.12, однако эта программа остается одной из компактных программ ( обычные требования подобных программ 80 -150 Мбайт). Во всех версиях остается неизменным (почти) дружественный интуитивный интерфейс, простой мощный графический редактор электрических схем, прекрасная интеграция с Windows системой. Так как функции логического конвертора поддерживаются во всех версиях Electronics Workbench, поэтому в основу лабораторного практикума положена версия Electronics Workbench 4.1, не предъявляющая практически никаких требований к компьютеру и прекрасно работающая даже на компьютерах начиная с 386.

Рис.2.1 Экран Electronics Workbench.

Характеристики

Список файлов курсовой работы