151303 (598929), страница 4
Текст из файла (страница 4)
5. Элементы специальной теории относительности.
5.1. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца.
Принцип относительности: Никакими физическими опытами, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится ли эта система относительно другой инерциальной системы отсчета или движется прямолинейно и равномерно.
Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.
Р
ассмотрим две системы отсчета S и S (рис. 8). Систему S будем считать условно неподвижной. Система
движется относительно 
со скоростью 
вдоль оси X системы . Для перехода от одной системы отсчета в другую в специальной теории относительности используются преобразования Лоренца.
Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем и направления соответствующих осей совпадают.
Рис. 8
Тогда: ![]()
![]()
.
. Здесь ![]()
- скорость света в вакууме.
- скорость света в вакууме.5.2. Следствия из преобразований Лоренца.
Будем рассматривать системы и (рис. 8).
Относительность промежутков времени между событиями.
где 
- промежуток времени между событиями, измеренный в системе отсчета , относительно которой события происходят в одной точке пространства ( отсчитывается по часам, находящимся в системе ); 
- промежуток времени между этими событиям, отсчитанный по часам, находящимся в системе .
Изменение размеров движущихся тел.
где L’-длина стержня, расположенного вдоль оси 
и покоящегося в системе S’ (отсчитывается в системе отсчета S’); L - длина этого же стержня, измеренная в системе отсчета .
Релятивистский закон сложения скоростей.
Пусть некоторое тело движется вдоль оси x` в системе отсчета со скоростью 
относительно последней. Найдем проекцию скорости 
этого тела в системе отсчета на ось x этой системы:
.
-
Релятивистские масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии.
Эйнштейн показал, что масса тела зависит от его скорости:
где m0 – масса тела в той системе отсчета, где тело покоится (масса покоя);
m – масса тела в той системе, относительно которой тело движется;
– скорость тела относительно системы отсчета, в которой определяется масса m.
Релятивистский импульс:
,
где m – релятивистская масса.
Закон взаимосвязи массы и энергии:
,
где m - релятивистская масса;
E – полная энергия материального объекта.
Кинетическая энергия объекта:
,
где - полная энергия; 
- энергия покоя.
Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что всякое изменение массы тела на m сопровождается изменением его энергии на E:
E=mc2.
Примеры решения задач
Задача 1 Уравнение движения точки по прямой имеет вид:
x = A+Bt+Ct3, где А = 4 м, В = 2 м/c, С = 0,2 м/с3. Найти: 1) положение точки в моменты времени t = 2 c и t = 5 с; 2) среднюю скорость за время, протекшее между этими моментами; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.
Дано:
| x = A + Bt + Ct3 A = 4 м B = 2 м/c C = 0,2 м/c3 t1 = 2 c; t2 = 5 c | Решение1. Чтобы найти координаты точки, надо в уравнение движения подставить значения t1 и t2: x1 = (4+22+0,223) м = 9,6 м, x2 = (4+25+0,253) м = 39 м. |
| x1, x2 - ? 1, 2 - ? a1, a2 - ? | 2. Средняя скорость |
, 
м/с = 9,8 м/с.
3. Мгновенные скорости найдем, продифференцировав по времени уравнение движения: 
1 = (2+30,222) м/с = 4,4 м/c;
2 = (2+30,252) м/с = 17 м/с.
4. Среднее ускорение 
,
м/c2 = 4,2 м/с2.
5. Мгновенное ускорение получим, если продифференцируем по времени выражение для скорости: a = 23Ct = 6Ct.
a1 = 60,22 м/c2 = 2,4 м/с2;
a2 = 60,25 м/с2 = 6 м/с2.
Задача 2 Маховик вращается равноускоренно. Найти угол , который составляет вектор полного ускорения 
любой точки маховика с радиусом в тот момент, когда маховик совершит первые N=2 оборота.
Дано:
| 0 = 0. N = 2 = const | Решение Разложив вектор |
| - ? |
точки М на тангенциальное 
и нормальное 
ускорения, видим, что искомый угол определяется соотношением tg=a/an. Поскольку в условии дано лишь число оборотов, перейдем к угловым величинам. Применив формулы:a = R, an = 2R, где R – радиус маховика, получим
tg =
так как маховик вращается равноускоренно, найдем связь между величинами и ;
;
Поскольку 0 = 0; = 2N, то 2 = 22N = 4N.
Подставим это значение в формулу, получим:
2,3.
Ответ: 2,3.
Задача 3 Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити 
. Трением в блоке пренебречь.
Дано:
| m1 = 2 кг m2 = 1 кг | РешениеВоспользуемся для решения задачи основным законом динамики где |
| a, FН - ? |
– равнодействующая всех сил, действующих на тело. На тело 1 и тело 2 действуют только две силы – сила тяжести и сила
натяжения нити. Для первого тела имеем:
(1)
для второго тела:
. (2)
Так как сила трения в блоке отсутствует,
.
Ускорения тел а1 и а2 равны по модулю и направлены в противоположные стороны
.
Получаем из (1) и (2) систему уравнений.
Выберем ось Х, как показано на рисунке и запишем полученную систему уравнений 
в проекциях на ось Х 
Решая эту систему относительно а и FН, получаем:
= 3,3 м/с2; 
= 13 Н.
Ответ: a = 3,3 м/c2 ; FH = 13 Н.
Задача 4 К ободу однородного диска радиусом R=0,2 м приложена касательная сила F=98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения
МТР=4,9 Нм. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением =100 рад/с2.
Дано:
| R = 0,2 м F = 98,1 Н MТР = 4,3 Нм = 100 рад / c2 | Решение Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения: |
| m - ? |
или в скалярной форме
, где
- момент сил, приложенных к телу ( MF - момент силы F, Mтр – момент сил трения ); 
- момент инерции диска.
Учитывая, что MF=FR, получаем: 
.
Отсюда 
m = 7,7 кг.
Ответ: m = 7,7 кг.
Задача 5
Вагон массой 20 т, движущийся равнозамедленно, под действием силы трения в 6 кН через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти работу сил трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки.
Дано:
| m = 20 10 3 кг Fтр = 6 10 3 Н = 15 м/c | Решение По закону сохранения механической энергии изменение полной механической энергии будет определятся работой неконсервативных сил, то есть |
| AТР - ? r - ? | Так как механическая энергия вагона равна его кинетической энергии, в качестве неконсервативной силы выступает сила |
.трения, в конце пути скорость вагона равна нулю, то
.
Итак: 
По определению для работы, совершаемой постоянной силой трения:
м.
Ответ: r = 375 м.
Задача 6 При упругом ударе нейтрона о ядро атома углерода он движется после удара в направлении, перпендикулярном начальному. Считая, что масса М ядра углерода в n=12 раз больше массы m нейтрона, определить, во сколько раз уменьшается энергия нейтрона в результате удара.
Дано:
| | Решение Ведем обозначения: 1 – скорость нейтрона до удара, 1’ – после удара; 2 – скорость ядра углерода после удара (до удара она равна нулю). По законам сохранения импульса и энергии соответственно имеем: |
| - ? |
По условию задачи требуется найти отношение
Из треугольника импульсов (смотри рисунок) имеем:
(m1)2+(m1)2=(M2)2.
С учетом записанных выражений, а также соотношения n=M/m, получим:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
