168753 (595691), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Якщо задати функцію потоку як функцію від довжини дуги l кривій KL, то для визначення витрати одержимо

(3.28)

Тому що функції (x, y) і ψ(x, y) задовольняють умовам Коші - Рімана, то комплексна функція

(3.29)

буде аналітичною в області фільтрації G й її можна розглядати як функцію комплексної змінної ω=f(z) , де z = x + iy . Функція (3.29) у теорії фільтрації називається комплексним потенціалом фільтрації. Таким чином, через комплексний потенціал фільтрації встановлюється зв'язок фільтрації з теорією функцій комплексної змінної.

Розглянемо ще одну комплексну величину v_x - iy_y , що у теорії фільтрації називається комплексною швидкістю фільтрації. Диференціюючи рівняння (3.29) по z і використовуючи співвідношення (3.20), (3.23), знайдемо похідну

. (3.30)

Тому що похідна аналітичної функції є також аналітичною функцією, то комплексна швидкість фільтрації w, обумовлена рівністю

, (3.31)

є аналітичною функцією в області фільтрації G .

Геометричне подання про плоский сталий фільтраційний потік дає так названу гідродинамічну сітку, тобто сітку, утворену сімейством ліній потоку ψ(x,y)=ψ_n=const і сімейством еквіпотенціальних ліній (x,y)= _m=const, які одночасно є й лініями рівних напорів h = h_m = const.

З умов Коші-Рімана слідує рівність

(3.32)

яка показує, що еквіпотенціальні лінії й лінії потоку взаємно ортогональні.

Таким чином, якщо для досліджуваного руху підземних вод знайти комплексний потенціал фільтрації (3.29) або комплексну швидкість фільтрації (3.31), те можна легко визначити величини (x,y), ψ(x,y), v_x(x,y), v_y(x,y), отже й всі інші характеристики фільтраційного потоку.

1. Метод конформних відображень у теорії фільтрації

Якщо геометрична форма області G складна, то відшукання рішення крайової задачі пов'язане з більшими труднощами. Тому при вирішенні тієї чи іншої крайової задачі намагаються спростити як диференціальне рівняння із граничними умовами, так і вид області, у якій відшукується вирішення. Одним з найпоширеніших методів такого спрощення крайового завдання є метод перетворення незалежних змінних (заміна змінних), зокрема, метод конформного перетворення незалежних змінних.

Нехай у деякій області G необхідно знайти рішення крайової задачі для рівняння Лапласа

. (3.33)

Спробуємо спростити вид області G за допомогою заміни змінних

(3.34)

або

(3.35)

При переході до новим змінних ξ і η міняється не тільки область G, але й саме диференціальне рівняння й граничні умови. Очевидно, найбільший інтерес представляють перетворення, що не міняють вид диференціального рівняння, тобто в нашому випадку перетворення, щодо яких саме рівняння Лапласа залишається інваріантним. Покажемо, що в цьому випадку функції (3.34), що здійснюють перетворення області G у більш просту область D, належать, як і функція (x,y), до класу гармонійних функцій, більше того, вони будуть сполученими гармонійними функціями.

Знайдемо

Підставляючи знайдені вирази в рівняння (3.33), одержимо наступне диференціальне рівняння

. (3.36)

Очевидно, для того, щоб диференціальне рівняння (3.36) було рівнянням Лапласа, необхідно, щоб перетворення (3.34) задовольняло таким вимогам:

(3.37)

(3.38)

. (3.39)

Рівняння (3.37) показують, що функції і є гармонійними функціями. Розділивши рівняння (3.38) на , маємо

(3.40)

Підставляючи вираз (3.40) у рівняння (3.39), одержуємо

, (3.41)

звідки маємо, що якщо

(3.42)

то = ±1 й, отже, з рівнянь (3.40) одержимо або

(3.43)

або

(3.44)

Ці рівняння є умовами Коші-Рімана й показують, що функції і є гармонійними функціями. Перетворення, здійснюване такими функціями, переводить нескінченно малі фігури площини хОу в подібні їм фігури площини за умови, що виконується (3.42). Саме такі перетворення й називаються конформними. Отже, якщо перетворення, здійснюване функціями (3.34), є конформним, то рівняння (3.33) прийме вид

або

З останньої рівності одержуємо

(3.45)

Отримане рівняння також є рівнянням Лапласа, де частки похідні виражаються через нові незалежні змінні ξ і η - координати області D .

Тепер, якщо утворити комплексну функцію, у якої дійсною й уявною частинами є відповідно функції ξ(x,y) і η(x,y), то така комплексна функція ζ=ξ+iη буде аналітичною функцією комплексної змінної z = x+iy, тобто

ζ(z)=ξ(x,y)+iη(x,y) = f(z). (3.46)

Як ми вже відзначали, перетворення, здійснюване аналітичною функцією (3.47), або, що те ж саме, функціями (3.34), називається конформним усюди в області G , де похідна не дорівнює нулю, тобто де виконується умова

(3.47)

Таким чином, рівняння Лапласа є інваріантним щодо перетворень, здійснюваних аналітичними функціями комплексного змінного. Якщо ж перетворення (3.34) здійснюється довільними функціями ξ(x,y) і η(x,y), тобто не є конформним, то рівняння Лапласа (3.33) не переходить у рівняння Лапласа (3.45), а переходить у більше загальне рівняння в частинних похідних другого порядку.

Якщо вдається знайти рішення рівняння Лапласа або якого-небудь іншого рівняння математичної фізики в одній з найпростіших, так званих канонічних областей D (коло, напівплощина, прямокутник, смуга й ін.), тобто якщо визначено функцію як функція координат ξ і η точок області D , то, скориставшись співвідношеннями (3.47) або (3.34), легко знайти шукане рішення , як функцію змінних x й y - координат точок вихідної фізичної області G .

При рішенні конкретних фізичних задач функції й мають певну фізичну інтерпретацію. Фізична постановка задач визначає й крайові умови для шуканих функцій. Метод конформних відображень дозволяє також у ряді випадків, а саме, коли граничні умови як для функції (x,y), так і для сполученої з нею функції ψ(x,y), мають спеціальний фізичний зміст, відшукувати рішення рівняння Лапласа безпосередньо. У цих випадках досить знайти аналітичну функцію, конформно фізичну область, що відображає, G на область D зміни фізичних параметрів (x,y) і ?(x,y) . Вид області D визначається граничними значеннями функцій (x,y) і ψ(x,y).

Для завдань плоскої фільтрації, якщо вдається конформно відобразити область фільтрації z на область комплексного потенціалу ω за допомогою деякої аналітичної функції ω = f(z), те розділивши дійсну й уявну частини функції, що відображає, знайдемо комплексний потенціали фільтрації у вигляді

(3.48)

де (x, y) - потенціал швидкості фільтрації, а ψ(x, y) - функція струму.

Крім описаної аналітичної функції - комплексного потенціалу фільтрації, у теорії профільної фільтрації розглядаються ще дві аналітичні функції: функція Жуковського G , що визначається рівністю

(3.49)

і функція Нумерова, обумовлена рівністю

(3.50)

де ε - кількість води, що надходить у ґрунт (ε > 0) або паркої (ε < 0) з одиниці площі горизонтальної проекції вільної поверхні за одиницю часу.

Таким чином, крайове завдання теорії плоскої сталої або фільтрації, що квазиустано-вились, полягає в тім, щоб для заданої області фільтрації Z знайти одну (або дві) з аналітичних функцій (3.48),(3.49),(3.50).

1. Спосіб Павловського

Спосіб конформного відображення Павловського застосовується у випадку, коли відома границя вихідної області фільтрації G, що будемо позначати також буквою z (тому що область фільтрації розглядається в комплексній площині z=x+ iy). і відома область комплексного потенціалу (ОКП) ω (яка будується в комплексній площині ω= +iψ). Тоді характеристична функція потоку z = F(ω) або зворотна їй функція - комплексні потенціали швидкості фільтрації ω = f(z) - визначається в результаті конформного відображення області ω на область z . Область комплексного потенціалу ω, як правило, можна побудувати тільки в тому випадку, коли границя області фільтрації z складається з водонепроникних і водопроникних ділянок, тобто границя області фільтрації складається з еквіпотенциальних ліній і ліній струму. У цьому випадку проміжки височування й кривих депресій відсутні (напірна фільтрація). Тому що на еквіпотенциальних лініях = const, а на лініях струму ψ = const, то область комплексного потенціалу ω у розглянутому випадку завжди буде мати вигляд прямокутника або прямолінійного багатокутника, сторони якого паралельні осям координат.

Звичайно будують дві функції, що відображають: конформно, що відображає на область фільтрації z нижню (або верхню) так називану допоміжну напівплощину ζ = ξ + iη і конформно відображає на ОКП ω цю же допоміжну напівплощину ζ. У цьому випадку рішення завдання фільтрації, тобто комплексний потенціал швидкості фільтрації (або характеристичну функцію потоку), можна записати в параметричному виді

z = f₁(ζ), ω = f₂(ζ). (3.51)

Тому що ОКП - прямолінійний прямокутник, то функція ω = f(ζ) знаходиться за допомогою інтеграла Крістофеля-Шварца.

3.4.2. Спосіб Ведерникова-Павловского

У випадку, коли границя області фільтрації z містить криві депресії (так названа безнапірна або вільна фільтрація), положення яких заздалегідь невідомо, конформне відображення області фільтрації z на область ω або напівплощину ζ неможливо, хоча й у цьому випадку, як й у попередньому, область ω цілком визначена й має вигляд прямокутника або прямолінійного багатокутника. У зв'язку з результатами В. В. Ведерникова й Н. Н. Павловського, отриманими незалежно друг від друга, був запропонований спосіб, що усуває труднощі, пов'язані з невизначеністю положення кривої депресії. Скориставшись відомими для функцій (x, y) і ψ(x,y) граничними умовами на кривої депресії B_jC_j

(3.52)

Характеристики

Список файлов ВКР