168753 (595691), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

. (3.11)

Рівняння (3.10), (3.11) з невідомими функціями v_x,v_y,v_z й h утворять повну систему диференціальних рівнянь сталої фільтрації важкої нестисливої рідини. Ця система рівнянь може описувати й несталу або квазівстановлену фільтрацію.

Якщо в рівняння нерозривності замість складових v_x, v_y, v_z підставити їх вирази, обумовлені рівностями (3.10), то у випадку однорідного середовища (χ = const) одержимо диференціальне рівняння для невідомого напору

. (3.12)

яке називається рівнянням Лапласа.

Надалі буде розглядатися тільки плоско-паралельний рух рідини, що може відбуватися або у вертикальній площині (профільна фільтрація), або в горизонтальній площині (планова фільтрація).

1. Постановка крайових завдань плоскої фільтрації

Зупинимося на основних рівняннях і постановці крайових задач плоскої (профільної) сталої фільтрації підземних вод в однорідному ізотропному ґрунті. Якщо в якості вертикальної координатної площини вибрати систему координат xOy, причому вісь Oy направити вертикально вниз, то рівняння фільтрації запишеться у вигляді

(3.13)

Із цих рівнянь маємо

. (3.14)

З огляду на те, що для однорідного ґрунту χ = const, і ввівши функцію

(3.15)

яка називається потенціалом швидкості фільтрації, рівняння (3.13) перетвориться до вигляду

(3.16)

а рівняння (3.14) перетвориться до вигляду

(3.17)

Відшукавши потенціал , легко обчислити напір h(x,y) і складову швидкості фільтрації.

Щоб визначити гармонійну функцію , тобто функцію, що задовольняє в області фільтрації G рівняння Лапласа, необхідно вирішити це рівняння при додаткових умовах, які виконуються для шуканої функції на границі області.

Розглянемо вертикальний поперечний розріз земляної греблі або дамби (мал. 3.2).

рис. 3.2.

Область фільтрації G обмежена контуром ADCDEE₁A₁, що складається з окремих, характерних для границі області фільтрації, ділянок. Вісь Ox сполучена з поверхнею води в тій водоймі, рівень води якого перебуває вище (у розглянутому випадку ця водойма перебуває ліворуч, його змочений контур AB). У результаті наявності різниці рівнів води в "лівому" й "правому" водоймах, величина якої дорівнює H (H - дійсний напір), відбувається повільне просочування води через існуючий вододіл (область фільтрації) з першої водойми в другий. Ділянки границі області фільтрації, де відбувається надходження води з водойми в область фільтрації (ділянка AB) або з області фільтрації у водойму (ділянка DE), називаються водопроникними границями області фільтрації. Ділянки, де височується вода на поверхню ґрунту й стікає по поверхні ґрунту вниз або випаровується, називаються проміжками височування (ділянка CD). Ділянка границі між водоненасиченим й водонасиченим ґрунтом називається кривою депресії або депресивною кривою (ділянка BC). Якщо границя області є водонепроникною (або слабопроникною), то такі ділянки називаються водонепроникними (ділянку A₁E₁) або водоупором.

Установимо граничні умови на цих ділянках для потенціалу (x,y). Помітимо, що граничні умови, як і самі рівняння фільтрації, виводяться з фізичних законів або умов, які виконуються на границі області, у якій досліджується розглянутий процес руху підземних вод.

Розглянемо на водонепроникній ділянці AB довільну точку M(x,y), де п’єзометричний напір p/γ дорівнює висоті стовпа води над точкою M, тобто дорівнює ординаті y точки M . З огляду на співвідношення (3.15), у цій точці водонепроникної ділянки, а отже, і на всій водонепроникній ділянці AB , маємо

.

Для довільної точки N(x,y) водопроникної ділянки DE маємо

.

Таким чином, на водопроникних ділянках потенціал приймає постійне значення. Безліч точок, де потенціал задовольняє рівності (x,y)=const, називається лінією (поверхнею) рівного потенціалу або еквіпотенціальною лінією (поверхнею).

На кривої депресії п’єзометричний напір дорівнює нулю (атмосферний тиск і тиск, що відповідає висоті капілярного підняття води в ґрунті звичайно не враховується) і тому на ділянці BC маємо

На проміжку виточування CD , як і на кривій депресії, тиск дорівнює нулю й тому на цій ділянці маємо умову

.

На водонепроникних ділянках і на кривій депресії швидкість фільтрації спрямована уздовж цих границь. Лінії, уздовж яких рухається фільтрівна рідина, називаються лініями потоку. Інакше кажучи, лінія, дотична в кожній точці якої збігається з напрямком вектора швидкості фільтрації, називається лінією потоку. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці лінії потокузбігається з кутовим коефіцієнтом вектора швидкості фільтрації й тому диференціальне рівняння ліній потоку має вигляд

. (3.18)

Очевидно, на лініях потоку, а отже, також на кривій депресії й на водонепроникних ділянках, нормальна складова швидкості фільтрації в будь-якій точці цих ліній дорівнює нулю, тобто

.

Зокрема, для горизонтальної водонепроникної ділянки маємо

.

Уздовж вільної поверхні (кривій депресії) у загальному випадку, коли має місце інфільтрація або випар рідини, виконуються дві умови (з обліком капілярного p_k й атмосферного p_at тисків)

.

Якщо через s позначити довжину дуги депресійної кривої, а через cos(s,x) і cos(s,y) - косинуси кутів, утворених дотичній до кривої депресії відповідно з віссю абсцис і віссю ординат, то, з огляду на останню рівність, можна записати

,

де v_s,v_n - проекції швидкості фільтрації на кривої депресії відповідно на дотичну й нормаль до цієї кривої.

Скориставшись відомими співвідношеннями

умови для дотичній і нормальної складової швидкості фільтрації на кривій депресії можна представити у вигляді

.

Виключаючи з останніх рівностей cos(s,x), cos(s,y) одержимо умову для швидкості фільтрації на кривої депресії у вигляді

або

. (3.19)

Із цієї умови слідує, що кривій депресії в площині зміни вектора швидкості фільтрації v_xOv_y відповідає окружність (або її частина) із центром у точці з координатами радіусом |χ - ε|/2, причому частина зазначеного круга може проходити двічі.

Точне рішення рівняння фільтрації при певних граничних умовах можна одержати тільки в окремих випадках, причому одержання рішень й у цих випадках пов'язане з більшими математичними труднощами, перебороти які вдається як правило, тільки за допомогою методу конформних відображень.

1. Зв'язок рівнянь плоскої фільтрації з теорією функцій КЗ

Щоб застосувати апарат теорії функцій комплексної змінної до рішення рівнянь у частинних похідних, що описують конкретні фізичні процеси необхідно встановити, як можна перейти від крайових задач для цих рівнянь до завдань теорії аналітичних функцій комплексної змінної. Зв'язок теорії функцій комплексної змінної із крайовими задачами теорії фільтрації підземних вод дає можливість за допомогою методу конформних відображень знаходити аналітичні як точні, так і наближені вирішення для багатьох випадків, що виникають у практиці гідротехнічного, меліоративного й водогосподарчого будівництва. Метод конформних відображень можна застосовувати при розв’язанні різних крайових задач математичної фізики. Однак найбільш ефективне його застосування виявляється у випадку крайових задач для рівняння Лапласа, рішеннями якого є гармонійні функції. Вид цієї функції залежить від області, у якій шукається розв’язання, і від виду крайових умов для шуканого рішення. Як відомо, гармонійні функції можна зв'язати з аналітичними, і тоді завдання про знаходження рішення рівняння Лапласа (рівняння фільтрації) буде зведена до завдання знаходження аналітичної в розглянутій області (області фільтрації) функції.

Рівняння плоскої сталої фільтрації важкої нестисливої рідини в однорідному ізотропному пористому середовищі у випадку, якщо рух рідини (підземних вод) відбувається у вертикальній площині (профільна фільтрація), можуть бути записані у вигляді

(3.20)

(3.21)

Рівність (3.20) є умовою того, що величина -v_ydx + v_xdy є повним диференціалом деякої функції ψ(x, y) , що, як і функція (x,y), визначається з точністю до довільного доданка. Отже, відповідно до визначення повного диференціала маємо

. (3.22)

Звідси,

(3.23)

Порівнюючи (3.21) і (3.23), одержуємо

(3.24)

Ці рівності, як відомо, називаються умовами Коші-Рімана (Эйлера-Даламбера). Диференціюючи першу рівність по y , а другу по x, одержуємо

. (3.25)

Таким чином, функція ψ(x,y) так само, як і функція (x,y), задовольняє рівнянню Лапласа, тобто є гармонійною функцією.

Функція ψ(x, y) називається функцією потоку. Її назва визначається фізичним змістом цієї функції, тому що диференціальне рівняння лінії току має вигляд (3.18), яких можна записати в такий спосіб:

. (3.26)

Загальний інтеграл цього рівняння є функція ψ(x,y) = C (C = const), отже, на лініях току функція ψ(x, y) зберігає постійне значення. З'ясуємо фізичний зміст функції потоку, а саме, покажемо, що функція ψ(x,y) пов'язана з поняттям фільтраційної витрати. Нехай KL - довільна крива в області фільтрації G - є напрямної циліндричної поверхні одиничної висоти з утворюючої, перпендикулярної площини xOy. Витрата рідини Q через таку поверхню дорівнює сумі фільтраційних витрат через нескінченно малі елементи кривій KL.

Завдяки нерозривності розглянутого потоку рідини елементарна витрата d через елемент кривої dl дорівнює алгебраїчній сумі витрат через ділянки 1-2 й 2-3 - відрізки прямих, паралельних осям координат:

d = dQ_x + dQ_y = vdl.

Будемо вважати, що значення витрати Q(x,y) зростає при русі уздовж кривої KL у напрямку від точки 1 до точки 3 (позитивний напрямок кривої). Тоді маємо

d = dQ_x + sQ_y = v_y(-dx) + v_xdy → d = dψ.

Інтегруючи останнє рівняння уздовж кривої від точки K до точки L, знайдемо шукану фільтраційну витрату

(3.27)

тобто збільшення функції потоку ∆ψ уздовж довільної кривої KL, узятої в області фільтрації G, дорівнює фільтраційній витраті через цю криву.

Характеристики

Список файлов ВКР