115597 (592211), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

.

По определению:

.

Используя формулу D(Х)=M(X)²-[М(Х)]² можно найти дисперсию гораздо быстрее:

.

Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины.

Средним квадратическим отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии

Занятие 12

1. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х и построить многоугольник распределения, заданной законом распределения:

а) б)

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

1. Дискретная случайная величина имеет только 2 возможных значения х и у, причем x

Занятие 13

В практике статистических наблюдений различают два вида наблюдений:

• Сплошное (изучаются все объекты);

• Выборочное (несплошное, когда изучается часть объектов).

Примером сплошного наблюдения является перепись населения, охватывающее все население страны. Выборочными наблюдениями является, например, проводимые социологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т.д.

Определение: Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью.

Определение: Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Числа объектов в генеральной или выборочной совокупности называют их объемами. Генеральная совокупность может иметь конечный и бесконечный объем.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о ее свойствах в целом.

Преимущества выборочного метода:

• Экономия затраты ресурсов

• Единственно возможный в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследовании связано с уничтожением наблюдаемых объектов (например исследование долговечности электрических лампочек и т.д)

• Возможность углубленного исследования за счет расширения программы исследования при тех же затратах.

• Снижение ошибок регистрации.

Неизбежные ошибки, возникающие в связи с изучением части объектов, могут быть заранее оценены и по средствам правильной организации выборки сведены к незначимым величинам.

Между тем использование сплошного наблюдения часто приводит к снижению точности наблюдения, а это у же вызывает неустранимые ошибки, и может привести к снижению точности сплошного наблюдения по сравнению с выборочным.

Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. На практике отбор может выполняться с помощью жеребьевки (лотереи) или с помощью случайных чисел.

Основной недостаток выборочного метода – ошибки исследования, называемые ошибками репрезентативности.

Выборка называемая репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность.

Виды выборок:

• собственно – случайная выборка (случайный выбор элементов без расчленения на части или группы)

• механическая выборка (элементы отбираются через определенный интервал)

• типическая выборка (выбор случайным образом элементов из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность)

• серийная выборка (случайным образом отбираются целые группы совокупности, а сами серии подвергаются сплошному наблюдению)

Способы образования выборки:

• повторный выбор – каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран.

• Бесповторный отбор – когда обратный элемент не возвращается в общую совокупность.

Где х_i – значение признака.

N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей.

N_i и n_i – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака х_i

M и m – число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком

Пример: генеральная совокупность задана таблицей распределения:

Найти дисперсию.

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.

Занятие 14

Рассмотрим пример:

Необходимо изучить изменение результатов спортсменов, занимающихся легкой атлетикой, по сравнению с предыдущим годом. Получены следующие данные результатов в процентах к предыдущему году: 97,8; 97,10; 101,17;,,,;142,3;141,02.(всего 100 значений.).

Различные значения признака (случайной величины Х) называется вариантами (обозначаем их через х).

Первый шаг к осмыслению – упорядочивание. Расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т.е. ранжирование вариантов ряда.

Следующим шагом произведем группировку, то есть разобьем на отдельные интервалы. Число интервалов не следует брать большим.

Числа показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (n_i), а отношение их к общему числу наблюдений частостями w_i=n/n_i. Частоты и частости называют весами.

Определение: Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями).

Определение: накопленная частота n_i^нак показывает сколько наблюдалось вариантов со значениями признака меньших х.

Накопленная частость – отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений: w_i^нак= n_i^нак/n

Теперь полученный нами вариационный ряд позволяет выявить закономерности.

Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты или частости.

Занятия 15-16

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину.

Вариационный ряд называется непрерывным, если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

В примере мы привели пример непрерывного ряда.

Для графического изображения вариационного ряда используются:

Полигон – служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков имеют (х_i, n_i).

Гистограмма служит для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака к=х₂-х₁. И высоты равные частотам. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.

Кумулятивная прямая (кумулята) – кривая накопленных частот. Для дискретных рядов кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (хi, n_i^нак ) или (х_i, w_i^нак). Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса, которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте, равной нулю. Другие точки соответствуют концам интервалов.

Сформулируем принцип практической уверенности:

Если вероятность события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, как будто событие А вообще невозможно.

Например: отправляясь самолетом в другой город, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в авиа катастрофе, хотя вероятность такого события имеется.

Но при многократном повторении испытаний мы не можем считать маловероятное событие А практически невозможным.

Определение: Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают Н₀. Также рассматривают альтернативную (конкурирующую гипотезу) Н₁ являющуюся отрицанием Н₀.

Суть проверки статистической гипотезы состоит в вычислении статистики данной выборки. Затем по выборочному распределению определятся критическое значение. Если статистика больше критического значения, то событие можно считать практически не возможным.

Сравнение двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречается случай, когда средний результат одной серии эксперимента отличается от среднего результата другой серии.

Пример: В промышленности данная задача возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах.

Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними х и у. И дисперсиями для которых найдены средние арифметические и выборочные дисперсии. Необходимо проверить гипотезу Н₀ о равенстве генеральных средних. Тогда статистика находится по следующей формуле:

Если t>t_кр то гипотеза Н₀ отвергается. Если нет, то делается вывод что нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.

Занятия 17 – 18

Определение: Корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде:

Это уравнение называют уравнением регрессии, а их графики линиями регрессии.

Для отыскания уравнений регрессий необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины.

Данные о статистической зависимости удобно задавать в виде корреляционной таблицы.

Вес (кг) (Х)		Середины интервалов		Рост (см) (у)
				155-160		160-165		165-170	170-175		Всего (ni)	Групповая Средняя
		Хi yj		157,5		162,5		167,5	172,5
40-45	42,5		2		1			7		10	168,5
45-50	47,5		3		6		4	6		19	165,9
50-55	52,5				3		11	1		15	166,8
60-65	62,5		2		1		2			5	162,5
70-75	72,5							1		1	172,5
Всего nj			7			11	17		15	50
Групповая средняя			50,4			49,8	52,5		47,2

Вычисленные групповые средние изобразим графически в виде ломанной, называемой эмпирической линией регрессии.

По виду ломанной можно предположить наличие линейной функциональной зависимости между случайными величинами Х и У, то есть имеется функция y=kx+b, где

Где выборочная ковариация и равна:

К=-46,09 В=2471,02 У=-46,09х+2471,02

Занятия 19-20

1. В ходе исследования результатов забега на 100 метров юношами одиннадцатых классов двух групп – экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленные в таблице.

Время (секунды)	12,3-13,9	13,9-15,5	15,5-17,1	17,1-17,7
Число юношей экспериментальной группы	3	20	20	2
Число юношей контрольной группы	1	8	18	3

1. Изобразить данные графически, построив гистограммы для каждой группы.

2. Для каждой группы определить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.

3. Проверить гипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагая критическое значение статистики 1,67.

Домашняя работа.

В ходе исследования результатов высоты прыжка с места спортсменов – велосипедистов двух групп – экспериментальной и контрольной – были получены данные, представленные в таблице.

Высота прыжка (см)	37-45	45-53	53-61	61-69
Число юношей экспериментальной группы	4	20	10	1
Число юношей контрольной группы	2	15	20	3

1. Изобразить данные графически, построив гистограммы для каждой группы.

2. Для каждой группы определить среднее значение, дисперсию, моду и медиану.

3. Проверить гипотезу о равенстве средних двух групп учащихся, используя критерий Стьюдента и полагая критическое значение статистики 1,67.

Занятия 21-22

Подготовка к контрольной работе.

Комбинаторика:

1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз.

2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

3. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

4. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше цифры единиц?

5. В нашем распоряжении есть три различных флага. На флагштоке поднимается сигнал состоящий не менее, чем из двух флагов. Сколько различных сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается.

6. В карточке игры «Русское лото» нужно зачеркнуть 6 чисел от 1 до 99. Сколькими способами это можно сделать?

7. Сколько различных имен – отчеств можно составить из имен Надежда, Иван, Андрей, Наталья, Дмитрий, Людмила, Александр?

8. Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?

Вероятность:

1. В партии 10 из деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

2. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

3. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

4. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

5. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую 0,35. Найти вероятность, того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую область, либо во вторую.

6. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на каждой из выпавших граней появиться пять очков. Б) на всех выпавших гранях появиться одинаковое количество очков.

7. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием 0,8, а вторым 0,7.

8. Имеется 3 ящика, содержащие по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

9. В урне 5 белых, 4 черных, 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появиться белый шар, при втором – черный и при третьем – синий.

10. В мешочке имеется 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением.

11. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий: 0,8, 0,7, 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

12. вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним орудием.

13. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго 0,9. Найти вероятность того, что взятая на удачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

14. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

15. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контроллеров Вероятность того, деталь попадет к первому контроллеру равна 0,6, а ко второму 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контроллером 0,94, а вторым 0,98. Годная деталь при проверки была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контроллер.

16. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания цель первым, вторым и третьим орудиями равны: 0,4, 0,3 и 0,5.

Приложение 2

Самостоятельная работа № 1

1. Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков меньше цифры единиц?

2. В нашем распоряжении есть три различных флага. На флагштоке поднимается сигнал состоящий не менее, чем из двух флагов. Сколько различных сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается.

3. В карточке игры «Русское лото» нужно зачеркнуть 6 чисел от 1 до 99. Сколькими способами это можно сделать?

4. Сколько различных имен – отчеств можно составить из имен Надежда, Иван, Андрей, Наталья, Дмитрий, Людмила, Александр?

5. Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?

Характеристики

Список файлов ВКР