115597 (592211), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

2. Произведение

Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B.

Пример: С=А∙В (А- выпадет 3, В – выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом.

3.Противоположное

Событие называется противоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом .

Пример: Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты.

Вероятность событий

а)статистический подход.

Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено n испытаний, в результате которых событие А появилось ровно m раз. Тогда отношение - называют относительной частотой.

Также при большом количестве повторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируется около определенного значения, а при небольшом количестве повторений она может принимать различные значения. Каждое такое значение в конкретном случае принято называть вероятностью события А и обозначают Р(А).

Так как n всегда больше либо равно N, то вероятность заключена в интервале: .

Примером может служить выпадение герба или цифры при бросании монеты, которое является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадет герб, а в 50% – цифра. А это уже определенная закономерность. Здесь нас интересует не результат отдельного подбрасывания, а то, что получится после многократных подбрасываний.

б)классическое определение.

В некоторых случая вероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний. Пусть испытание имеет n возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного из данных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того, по условиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при n равновозможных исходах интерес представляет событие А, которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных n-m исходах. И принято говорить, что в данном испытании имеется n случаев, из которых m благоприятствуют появлению события А. В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (т.е. m), к общему числу всех исходов n: .

Пример 1. Из колоды с 36 перемешанными картами наудачу извлекается одна карта. Извлечение каждой карты из 36 является равновозможным событием. Поэтому вероятность извлечения "короля" составляет 4/36 = 1/9, карты выбранной масти – 9/36 = 1/4, карты выбранного цвета – 18/36 = 1/2.

Пример 2. Бросают две игральные кости. Требуется найти вероятность того, что сумма очков делится на 5. Возможные суммы очков, делящиеся на 5, равны 5 и 10. Событию "сумма очков равна 5" благоприятствуют события (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), а событию "сумма очков равна 10" – события (4; 6), (5; 5), (6; 4). Таким образом, число благоприятствующих исходов равно 7, общее число равновозможных исходов – 6 " 6 = 36, поэтому вероятность события "сумма очков делится на 5" будет 7/36.

Пример 3. Вероятность извлечения белого шара (событие Б) из урны, содержащей три черных и четыре белых шара: p(Б) = 4/7.

Занятие 2

1. В 9 классе 10 учебных предметов. Сколькими способами можно поставить в среду первый и второй уроки?

2. Для составления двух команд из 40 человек надо выбрать капитанов команд. Каким числом способов это можно сделать?

3. На три призовых места претендуют Вася, Дима и Коля. Каким числом способов могут распределиться призовые места?

4. Сколько существует трехзначных чисел, оканчивающихся тройкой?

5. В партии 10 лотерейных билетов выигрышными являются 5. Приобретено 3 билета. В скольких случаях среди них есть хотя бы один выигрышный?

6. Четыре футболиста, четыре хоккеиста и два баскетболиста хотят сфотографироваться, стоя в один ряд, но так чтобы представители одного вида спорта стояли рядом. Каким числом способов они могут сделать это?

7. В некотором царстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Каково максимальное количество жителей этого государства?

8. В урне лежат 10 жетонов с числами 1, 2, 3, 4, …, 10. Из нее вынимают три жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел равна 9? Не меньше 9.

Занятие 3

1. Сколькими способами можно разложить в два кармана пять купюр достоинством в 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей?

2. Из десяти волейбольных мячей, обозначенных цифрами от 1 до 10, нужно выбрать пять мячей так, чтобы среди выбранных был элемент мяч с номером 5. Сколькими способами это можно сделать?

3. Сколько можно составить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных букв, если гласные и согласные должны чередоваться?

4. Сколькими способами можно разбить 20 футболистов на две команды так, чтобы одна содержала 3 человека, а другая 15 ?

5. Во скольких девятизначных числах все цифры различны?

6. Сколько различных пятизначных чисел можно записать из цифр числа 273485961 так, чтобы четные и нечетные цифры в числе чередовались?

7. Двадцать различных книг отдано двум продавцам. Сколькими способами они могут распределить, если все книги могут быть отданы одному продавцу?

Занятие 4

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна 8, а разность четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем?

2. В ящике имеется 10 одинаковых деталей, помеченные номерами 1, 2, …, 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь №1; б) детали №1 и №2.

3. Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке «Спортлото» (игра из 49) k чисел будут выигрышными.

4. Известно, что среди 40 участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 мастера спорта.

5. На карточках написаны буквы: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают в том порядке в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово ФИЗКУЛЬТУРА.

6. Во всероссийском дне бега каждому участнику присваивался определенный четырехзначный номер. И была проведена акция всем тем у кого на номере встречаются два раза цифра 7 получают в подарок кружку. Определите сколько кружек должен приготовить спорткомитет.

Занятие 5

Приведем основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

1.Вероятность достоверного события равна единице: P(E)=1.

2. Вероятность невозможного события равна 0: P(Ø)=0.

3. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Пример: Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь, выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой из дверей он тратит 5 секунд. Найти вероятность того, что он откроет все двери за 15 секунд.

Решение. Пусть событие А – “открыты все двери”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В – “открыта 1-я“, С – “ открыта 2-я“, а D – “ открыта 3-я“. Тогда, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). По теореме о вероятности произведения независимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C)Р(D).

Определение. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(В) и обозначается Р_А(В): .

Пример: Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию А В – 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности получим: .

4. Вероятность произведения зависимых событий равна:

P(AВ)=Р(А)Р_А(В).

Пример: Изменим задачу: считаем, что преступник – забывчивый человек. Пусть преступник открыв дверь, оставляет ключ в ней. Какова тогда вероятность, что он откроет все двери за 15 сек?

Решение. Событие А – “открыты все двери”. Опять, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). Но, теперь события В, C и D – зависимы. По теореме о вероятности произведения зависимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC).

Вычислим вероятности : Р(В)=1/3, Р_В(С)=1/2 (ключа осталось только два и один из них подходит!), Р_BC(D)=1/1 и, значит, Р(А)=1/6 .

5. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Р(А₁+ А₂+…+ А_n)=Р(А₁)+ Р(А₂)+…+ Р(А_n).

Пример: В урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным?

Решение. Пусть событие А – появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые. Пусть В1 – появление белого шара, а В2 – черного. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Так как В1 и В2 – несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2).

6.Вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

В общем случае данная формулы выглядит так:

.

Пример: Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник?

Решение. Пусть событие А – “обнаружен хотя бы один преступник”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В1 – обнаружен первый преступник, а В2 – обнаружен второй преступник. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Так как В1и В2 – совместные события, то по теореме о вероятности суммы событий

Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2)-Р(В1 В2) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.

Занятие 6

1. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число: б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны?

2. Монета брошена два раза найти вероятность, что хотя бы один раз появится герб.

3. В коробке имеется шесть одинаковых жетонов с различными номерами. По одному наудачу извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

4. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найдите вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

5. В волейбольной команде 6 мастеров спорта и 4 кандидата. Наудачу выбранным семи человекам дали премию. Найти вероятность того, что среди получивших премию окажутся три кандидата в мастера спорта?

6. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

7. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

8. Два стрелка стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

Домашнее задание

1. Монету бросают два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

2. Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке «Спортлото» (игра из 49) k чисел будут выигрышными.

3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

Занятие 7

1. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность, того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

2. Брошены три игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) на двух выпавших гранях появиться одно очко, а на третьей грани – другое число очков.

3. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4 можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

4. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятности, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

5. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

6. В цехе работают 7 мужчин и три женщины. Наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

7. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменаторам три вопроса.

Домашнее задание

Характеристики

Список файлов ВКР