112828 (591185), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Теорема 1. Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Тогда вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство. Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ – общее число исходов, благоприятствующих событию А; m₂ – общее число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁+m₂. Следовательно,

Р(А+В)= .

Приняв во внимание, что и , окончательно получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема 2. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n).

Теорема 3. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих полную группу, равна 1:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1.

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р(А₁+А₂+…+А_n)=1. (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n). (**)

Сравнивая (*) и (**), получим

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1.

Теорема 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Р(А)+Р( )=1.

Задачи:

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. (Решить двумя способами: с помощью 1 и 4 теорем).

3. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

4. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. найти вероятность промаха.

Занятие №9. Теорема умножения вероятностей.

Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей необходимо ввести понятие условной вероятности. Привести учащихся к этому понятию поможет разбор примера.

Пример: Из ящика, в котором 3 белых и 3 черных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Какова вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар?

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению равна

(Р(А)>0).

Опираясь на определение условной вероятности, учащиеся без труда смогут сформулировать теорему о вероятности совместного появления двух событий.

Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то есть

Р_А(В)=Р(В) или Р_В(А)=Р(А).

Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Задачи:

1. Среди ста лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

2. В коробке 9 одинаковых радиоламп, 3 из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический?

4. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет четное число очков, а на втором – число, меньшее 6?

5. Имеется 3 ящика, содержащих 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Занятие №10. Следствия теорем сложения и умножения.

Возвращаясь к занятию №8, где теорема сложения была рассмотрена для несовместных событий, целесообразно изложить теорему сложения для совместных событий. Доказательство приводить не обязательно, надо только ее проиллюстрировать.

Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме этих событий без вероятности их совместного появления:

Р

m

k

s=mk

(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пусть требуется найти вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу.

Если А произошло вместе с одним из событий В₁, В₂, …, В_n, значит, произошло одно из несовместных событий В₁А, В₂А, …, В_nА.

Таким образом, А= В₁А + В₂А + … + В_nА.

Поскольку события В₁, В₂, …, В_n взаимно несовместны, то и события В₁А, В₂А, …, В_nА обладают тем же свойством. Поэтому

Р(А)= Р(В₁А) + Р(В₂А) + … + Р(В_nА).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем ; ; …; .

Поэтому

.

Теорема 2. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

.

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

С помощью этой формулы находим так называемую формулу Бейеса:

при i=1, 2, …, n.

Особенно широко она применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез. Гипотезы – это события, про которых заранее не известно, какое из них наступит.

Доказать формулу Бейеса учащиеся могут самостоятельно.

Задачи:

1. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р₁=0,7; р₂=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

3. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий – только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

4. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что один из купленных билетов выигрышный?

5. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

6. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, а один совсем не готовился – понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо – на 16 вопросов, удовлетворительно – на 10, и не подготовившиеся – на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

Занятие №11. Формула Бернулли. Закон больших чисел.

Формула Бернулли намного упрощает путь решения задач в том случае, когда опыты повторяются независимо друг от друга и вероятность интересующего нас события не меняется.

Вероятность того, что при повторных испытаниях событие А наступит m раз и не наступит n-m раз находится по формуле:

.

Вычисления по формуле Бернулли при больших значениях n и m затруднительны. В математике установлены приближенные формулы, позволяющие находить приближенные значения для Р_n(m) и, что еще важнее для практики, суммы значений Р_n(m), таких, что дробь (относительная частота появления события А) лежит в данных границах.

По формуле Бернулли вероятность того, что в серии из 100 подбрасываний монеты все 100 раз выпадет герб, равна , то есть примерно 10^-30. Не столь мала, но все, же ничтожна вероятность того, что цифра выпадет не более 10 раз. Наиболее вероятно, что число выпадений герба будет мало отличаться от 50.

Вообще при большом числе испытаний относительная частота появления события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного утверждения дает принадлежащий Я. Бернулли закон больших чисел, который в уточненной П.Л. Чебышевым гласит:

Теорема. Пусть вероятность события А в испытании s равна р, и пусть проводятся серии, состоящие из n независимых повторений этого испытания. Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. Тогда для любого положительного числа выполняется неравенство

.

Эту теорему лучше давать без доказательства по следующим причинам: во-первых, на доказательство уйдет много времени и, во-вторых, самим доказательством можно «затмить» идею закона больших чисел.

Задачи:

1. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?

2. Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. какова вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного забракованного контролером?

3. вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

4. С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом примерно 0,1, вторым – 0,2, третьим – 0,3 и четвертым – 0,4. Какова вероятность того, что все четыре выстрела - промахи?

5. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать: трех побед в 4 партиях или пяти побед в 8 партиях?

6. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы вероятнейшее число появления шестерки было бы 32?

7. Какова вероятность равенства с точностью до 0,1 при 100 опытах?

Занятие №13. Самостоятельная работа.

Изучение случайных событий желательно завершить самостоятельной работой, в которой одну-две задачи надо решить как можно большим числом способов. Неплохо включить в работу и теоретический вопрос (чтобы проверить, с одной стороны, понимание учащимися теоретической части пройденного материала и, с другой стороны, умение учащихся формулировать и излагать свои мысли).

Примерный состав самостоятельной работы:

Вариант 1

1. Среди облигаций займа 25% выигрышных. Найдите вероятность того, что из трех взятых облигаций хотя бы одна выигрышная.

2. Найти вероятность по данным вероятностям: Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.

3. Могут ли несовместные события быть в то же время независимыми и наоборот? Привести примеры.

Вариант 2

1. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найти вероятность того, что для ввода двигателя на работу придется включить зажигание не более двух раз.

2. Найти вероятность по данным вероятностям: Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.

3. Почему формула Бернулли применяется при независимости опытов?

Способы решения первых задач подробно изложены в методике.

Занятие №14. Кому нужна теория вероятностей?

Форма организации данного занятия – круглый стол – представление учащимися индивидуальных творческих работ по выбору:

• небольшая подборка интересных вероятностных задач из различных областей профессиональной деятельности;

• исследовательская работа в области теории вероятности;

• индивидуальный проект, отражающий возможность применения знаний по теории вероятности в какой-либо деятельности человека или для какой-либо профессии;

• написание программ для вычисления вероятностей на каком-либо языке программирования.

Общая тема творческих работ: «Кому нужна теория вероятностей?».

Характеристики

Список файлов ВКР