86400 (589978), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Підставляючи послідовно у формул
замість змінної 
виписані вище серії рішень рівнянь, відшукаємо для кожної з них
, а потім зрівняємо отримані мінімальні
між собою
a) 
Ясно, що 
досягається при
, тобто
б)
.
в)
.
г)
.
.
Виберемо мінімальне із чисел 
,
. Відразу ясно, що
й що
. Залишилося зрівняти
й
. Припустимо, що
Остання нерівність --- вірне, а всі зроблені переходи --- рівносильні. Тому вірно вихідна нерівність. Обґрунтуємо рівносиль переходів (*) і (**) (рівносиль інших переходів треба із загальних властивостей числових нерівностей). У випадку перетворення (*), досить помітити, що числа 
й
розташований на ділянці
монотонного зростання функції
. У випадку переходу (**) формула
справедлива, тому що
Відповідь. 
Приклад Знайти корінь рівняння: 
.
Рішення цього рівняння розпадається на два етапи: 1) рішення рівняння, що виходить із даного піднесенням у квадрат обох його частин; 2) відбір тих корінь, які задовольняють умові 
. При цьому піклується про умову
немає необхідності. Всі значення
, що задовольняють зведеному у квадрат рівнянню, цій умові задовольняють.
Перший крок нас приводить до рівняння 
, звідки
Тепер треба визначити, при яких буде
Для цього досить для розглянути значення
,
,
, тобто <>, оскільки далі значення косинуса почнуть повторюватися, що вийшли кути будуть відрізнятися від уже розглянутих на величину, кратну
Відповідь. 
,
Отже, основна схема відбору корнів полягає в наступному. Перебуває найменший загальний період всіх тригонометричних функцій вхідних у рівняння. На цьому періоді відбираються коріння, а потім, що залишилися коріння, періодично тривають.
Приклад Вирішити рівняння
Рішення. Рівняння рівносильне змішаній системі
Але 
- не годиться.
Відповідь. 
.
Розкриваючи знак модуля одержуємо більше громохке рішення. А відповідь у цьому випадку приймає вид:
Відповідь. 
ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ
Тест по темі <>
• Об'єднання яких множин 
,
,
,
є рішенням рівняння
,
,
,
.
a) ,
б)
,
в)
,
г)
,
• Вирішите рівняння
a)
б)
в)
г)
• Вирішите рівняння 
a) 
б) 
в) 
г) 
• Вирішите рівняння 
a) 
б) 
в) 
г)
Вирішите рівняння 
a) 
б) 
в) 
г) 
• Серед множин 
,
знайдіть рішення рівняння
і вкажіть ті, які не є підмножинами один одного.
,
,
,
,
.
а) 
б)
в)
г)
• Серед множин ,
знайдіть рішення рівняння
а) б)
в)
г)
• Вирішите рівняння
а) 
б)
в) 
г)
• Вирішите рівняння
а) 
б) 
в) 
г) 
• Вирішите рівняння
.
а) 
б)
в) 
г)
• Сума корінь рівняння 
на відрізку
дорівнює:
а) 
б)
в)
г)
• Вирішите рівняння
У відповіді записати кількість корінь рівняння, що належать відрізку
а) б)
в)
г)
• Вирішити рівняння 
а) 
б)
в) 
г)
• Вирішите рівняння 
.
a) б)
в) 
г)
• Вирішите рівняння 
a)
б) 
в) 
г) 
Знайдіть найбільший негативний корінь рівняння
a) 
б)
в) г)
• Вирішите рівняння 
на множині
a)
б) 
в) 
г) 
• Вирішите рівняння 
a) 
б)
в) 
г)
• Вирішити рівняння 
а) 
б)
в)
г)
• Вирішите рівняння 
a) 
б) 
або
в) 
або
й
г) або
й
Відповіді 1а 2б 3б 4г 5б 6б 7а 8б 9г 10б 11а 12б 13в або г 14а 15в 16в 17в 18а або б 19г 20в
ВИСНОВОК
У даній роботі були розглянуті методи рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей, як найпростіших, так і рівня олімпіади. Були розглянуті основні методи рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей, причому, як специфічні -і- характерні тільки для тригонометричних рівнянь і нерівностей,-і- так і загальні функціональні методи рішення рівнянь і нерівностей, стосовно до тригонометричних рівнянь.
У дипломній роботі наведені основні теоретичні відомості: визначення й властивості тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій; вираження тригонометричних функцій через інші тригонометричні функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виражень, що особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основних тригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формули вираження, що спрощують, утримуючі зворотні тригонометричні функції. Розглянуто рішення елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники, методи відомості тригонометричних рівнянь до алгебраїчного. Через те, що рішення тригонометричних рівнянь можна записати декількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними, розглянута загальна схема рішення тригонометричних рівнянь і докладно розглянуте перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь. Докладно розглянуті методи рішення елементарних тригонометричних нерівностей, як на одиничній окружності, так і графічним методом. Описано процес рішення неелементарних тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності й уже добре відомий школярам метод інтервалів. Наведено рішення типових завдань на відбір корнів. Наведено необхідні теоретичних відомості для відбору корнів: розбивка множини цілих чисел на непересічні підмножини, рішення рівнянь у цілих числах.
Результати даної дипломної роботи можуть бути використані як навчальний матеріал при підготовці курсових і дипломних робіт, при складанні факультативів для школярів, так само робота може застосовуватися при підготовці учнів до вступних іспитів зовнішнього оцінювання.
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
1[] Вигодський Я.Я., Довідник по елементарній математиці. – К., 2003
2[] Ігудисман О., Математика на усному іспиті. – К., 2001.
3[] Азаров А.І., Рівняння., - К., 2005
4[] Литвиненко В.Н., Практикум по елементарній математиці. – К., 2000
5[] Шаригін І.Ф., Факультативний курс по математиці: рішення задач. – К., 2000
6[] Бардушкин В., Тригонометричні рівняння. Відбір корнів. – К., 2005
7[] Василевський А.Б., Завдання для позакласної роботи з математики. – К., 2005
8[]Сапунів П. І., Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь. – К., 2003
[9]Самусенко А.В., Математика: Типові помилки абітурієнтів. – К., 1991.
Размещено на Allbest.ru
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
