86400 (589978), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

,

,

,

.

Відповідь. .

Приклад Вирішите рівняння

Рішення

Зведемо обидві частини рівняння у квадрат, з огляду на, що вони мають позитивні значення:

,

Нехай , тоді одержимо

,

,

Відповідь.

Рівняння, розв'язувані за допомогою тотожностей

Корисно знати наступні формули

??()

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Використовуючи (??), одержуємо

Відповідь.

Пропонуємо не самі формули, а спосіб їхнього висновку:

отже,

Аналогічно, .

Приклад Вирішити рівняння .

Рішення. Перетворимо вираження

:

.

Рівняння запишеться у вигляді

Приймаючи , одержуємо

.

,

. Отже

Відповідь. .

Універсальна тригонометрична підстановка

Тригонометричне рівняння виду

де --- раціональна функція за допомогою формул (??) -- (??), а так само за допомогою формул (??)-- (??) можна звести до раціонального рівняння щодо аргументів

,

,

,

, після чого рівняння може бути зведене до алгебраїчного раціонального рівняння відносно

за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки

??()

??()

Слід зазначити, що застосування формул (??) може приводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки не визначений у крапках

, тому в таких випадках потрібно перевіряти, чи є кути

, коріннями вихідного рівняння.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. За умовою задачі . Застосувавши формули (??) й зробивши заміну

, одержимо

звідки й, отже,

.

Рівняння виду

Рівняння виду

де --- багаточлен, вирішуються за допомогою замін невідомих

??()

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Зробивши заміну (??) й з огляду на, що

, одержимо

звідки ,

.

- сторонній корінь, тому що

Коріннями рівняння

є

.

НЕСТАНДАРТНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

Використання обмеженості функцій

У практиці тестування не так вуж рідко зустрічаються рівняння, рішення яких ґрунтується на обмеженості функцій і

. Наприклад:

Приклад Вирішити рівняння .

Рішення. Оскільки

,

те ліва частина не перевершує й дорівнює

, якщо

Для знаходження значень , що задовольняють обом рівнянням, надійдемо в такий спосіб. Вирішимо одне з них, потім серед знайдених значень відберемо ті, які задовольняють і іншому

Почнемо із другого:

,

Тоді ,

.

Зрозуміло, що лише для парних буде

.

Відповідь. .

Інша ідея реалізується при рішенні наступного рівняння:

Приклад Вирішити рівняння

.

Рішення. Скористаємося властивістю показової функції

,

Склавши по членне ці нерівності будемо мати

Отже ліва частина даного рівняння дорівнює тоді й тільки тоді, коли виконуються дві рівності

т. е. може приймати значення

,

,

, а

може приймати значення

,

.

Відповідь. ,

.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення ,

. Отже,

Відповідь. .

Приклад Вирішити рівняння

??()

Рішення. Позначимо , тоді з визначення зворотної тригонометричної функції

маємо

й

.

Тому що , те з рівняння (??) треба нерівність

, тобто

. Оскільки

й

, те

й

. Однак

і тому

.

Якщо й

, то

. Тому що раніше було встановлено, що

, те

.

Відповідь. ,

.

Приклад Вирішити рівняння

??()

Рішення. Областю припустимих значень рівняння (??) є .

Спочатку покажемо, що функція

при будь-яких

може приймати тільки позитивні значення.

Представимо функцію в такий спосіб

Оскільки

те має місце , тобто

.

Отже, для доказу нерівності , необхідно показати, що

Із цією метою зведемо в куб обидві частини даної нерівності, тоді

Отримана чисельна нерівність свідчить про те, що . Якщо при цьому ще врахувати, що

, то ліва частина рівняння (??) ненегативна.

Розглянемо тепер праву частину рівняння (??).

Тому що , те

.

Однак відомо, що

Звідси треба, що

тобто права частина рівняння (??) не перевершує . Раніше було доведено, що ліва частина рівняння (??) ненегативна, тому рівність у (??) може бути тільки в тому випадку, коли обидві його частини рівні

, а це можливо лише при

.

Відповідь. .

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Позначимо

й

.

Застосовуючи нерівність Коші-Буняковського, одержуємо

Звідси треба, що

C іншої сторони має місце

Отже, рівняння не має корінь.

Відповідь. .

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді

Відповідь. .

Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь

Не всяке рівняння в результаті перетворень може бути зведене до рівняння того або іншого стандартного виду, для якого існує певний метод рішення. У таких випадках виявляється корисним використовувати такі властивості функцій

і

, як монотонність, обмеженість, парність, періодичність і ін. Так, якщо одна з функцій убуває, а друга зростає на проміжку

, то при наявності в рівняння

кореня на цьому проміжку, цей корінь єдиний, і тоді його, наприклад, можна знайти підбором. Якщо ж функція

обмежена зверху, причому

, а функція

обмежена знизу, причому

, то рівняння

рівносильне системі рівнянь

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо вихідне рівняння до виду

і вирішимо його як квадратне відносно . Тоді одержимо

Вирішимо перше рівняння сукупності. Урахувавши обмеженість функції , доходимо висновку, що рівняння може мати корінь тільки на відрізку

. На цьому проміжку функція

зростає, а функція

убуває. Отже, якщо це рівняння має корінь, то він єдиний. Підбором знаходимо

.

Відповідь. .

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Нехай

,

і

тоді вихідне рівняння можна записати у вигляді функціонального рівняння

Оскільки

функція непарна, те

.

У такому випадку одержуємо рівняння

Тому що ,

і

монотонна на

те рівняння

рівносильне рівнянню

, тобто

, що має єдиний корінь

.

Відповідь.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. На підставі теореми про похідну складну функцію ясно, що функція убутна (функція

убутна,

зростаюча,

убутна). Звідси зрозуміло, що функція

певна на

, що убуває. Тому дане рівняння має не більше одного кореня. Тому що

, те

Відповідь. .

Приклад Вирішити рівняння .

Рішення. Розглянемо рівняння на трьох проміжках.

а) Нехай . Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню

. Яке на проміжку

рішень не має, тому що

,

, а

. На проміжку

вихідне рівняння так само не має корінь, тому що

, а

.

б) Нехай . Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню

коріннями якого на проміжку є числа

,

,

,

.

в) Нехай . Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню

Яке на проміжку рішень не має, тому що

, а

. На проміжку

рівняння так само рішень не має, тому що

,

, а

Відповідь. ,

,

,

.

Метод симетрії

Метод симетрії зручно застосовувати, коли у формулюванні завдання присутня вимога одиничності рішення рівняння, нерівності, системи й т.п. або точна вказівка числа рішень. При цьому варто виявити яку-небудь симетрію заданих виражень.

Потрібно також ураховувати різноманіття різних можливих видів симетрії.

Не менш важливим є чітке дотримання логічних етапів у міркуваннях із симетрією.

Звичайно симетрія дозволяє встановити лише необхідні умови, а потім потрібна перевірка їхньої достатності.

Приклад Знайти всі значення параметра , при яких рівняння

має єдине рішення.

Рішення. Помітимо, що й

--- парні функції, тому ліва частина рівняння є парна функція.

Значить якщо --- рішення рівняння, тобто

також рішення рівняння. Якщо

--- єдине рішення рівняння, те, необхідно,

.

Відберемо можливі значення , зажадавши, щоб

було коренем рівняння.

Відразу ж відзначимо, що інші значення не можуть задовольняти умові задачі.

Але поки не відомо, чи всі відібрані в дійсності задовольняють умові задачі.

Достатність

1) , рівняння прийме вид

.

2) , рівняння прийме вид:

Очевидно, що , для всіх

і

Отже, останнє рівняння рівносильне системі:

Тим самим, ми довели, що при , рівняння має єдине рішення.

Відповідь. .

тригонометричний рівняння комбінований графічний

Рішення з дослідженням функції

Приклад [??] Доведіть, що всі рішення рівняння

і- цілі числа.

Рішення. Основний період вихідного рівняння дорівнює . Тому спочатку досліджуємо це рівняння на відрізку

Характеристики

Список файлов ВКР