86400 (589978), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Перетворимо рівняння до виду

За допомогою мікрокалькулятора одержуємо

Знаходимо

Якщо , то з попередніх рівностей одержуємо

Вирішивши отримане рівняння, одержимо

Виконані обчислення представляють можливість припустити, що коріннями рівняння, що належать відрізку

, є

,

і

Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу. Таким чином, доведено, що коріннями рівняння є тільки цілі числа

,

Приклад Вирішите рівняння

Рішення. Знайдемо основний період рівняння. У функції основний період дорівнює

. Основний період функції

дорівнює

. Найменше загальне кратне чисел

і

дорівнює

. Тому основний період рівняння дорівнює

. Нехай

.

Очевидно, є рішенням рівняння. На інтервалі

. Функція

негативна. Тому інших корінь рівняння варто шукати тільки на інтервалах

і

За допомогою мікрокалькулятора спочатку знайдемо наближені значення корінь рівняння. Для цього становимо таблицю значень функції

на інтервалах

і

; тобто на інтервалах

і

З таблиці легко вбачаються наступні гіпотези: коріннями рівняння, що належать відрізку , є числа:

;

;

. Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу.

Відповідь. ;

;

.

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ

Рішення тригонометричних нерівностей за допомогою одиничної окружності

При рішенні тригонометричних нерівностей виду

де --- одна із тригонометричних функцій, зручно використовувати тригонометричну окружність для того, щоб найбільше наочно представити рішення нерівності й записати відповідь. Основним методом рішення тригонометричних нерівностей є відомість їх до найпростіших нерівностей типу

. Розберемо на прикладі, як вирішувати такі нерівності.

Приклад Вирішите нерівність .

Рішення. Намалюємо тригонометричну окружність і відзначимо на ній крапки, для яких ордината перевершує

Для

рішенням даної нерівності будуть

.

Ясно також, що якщо деяке число буде відрізнятися від якого-небудь числа із зазначеного інтервалу на

, те

також буде не менше

. Отже, до кінців знайденого відрізка рішення потрібно просто додати

. Остаточно, одержуємо, що рішеннями вихідної нерівності будуть усе

Відповідь.

Для рішення нерівностей з тангенсом і котангенсом корисне поняття про лінію тангенсів і котангенсів. Такими є прямі й

відповідно (на малюнку (1) і (2)), що стосуються тригонометричної окружності.

Легко помітити, що якщо побудувати промінь із початком на початку координат, що становить кут з позитивним напрямком осі абсцис, то довжина відрізка від крапки

до крапки перетинання цього променя з лінією тангенсів у точності дорівнює тангенсу кута, що становить цей промінь із віссю абсцис. Аналогічне спостереження має місце й для котангенса.

Приклад Вирішите нерівність

Рішення

Позначимо , тоді нерівність прийме вид найпростішого:

. Розглянемо інтервал

довжиною, рівної найменшому позитивному періоду (НПП) тангенса. На цьому відрізку за допомогою лінії тангенсів установлюємо, що

. Згадуємо тепер, що необхідно додати

, оскільки НПП функції

. Отже,

Вертаючись до змінного , одержуємо, що

Відповідь.

Нерівності зі зворотними тригонометричними функціями зручно вирішувати з використанням графіків зворотних тригонометричних функцій. Покажемо, як це робиться на прикладі.

Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом

Помітимо, що якщо --- періодична функція, то для рішення нерівності

необхідно знайти його рішення на відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції

. Всі рішення вихідної нерівності будуть складатися зі знайдених значень

, а також всіх

, що відрізняються від знайдених на будь-яке ціле число періодів функції

.

Розглянемо рішення нерівності (

).

Оскільки , те при

нерівність рішень не має. Якщо

, то множина рішень нерівності

--- множина всіх дійсних чисел.

Нехай . Функція синус має найменший позитивний період

, тому нерівність

можна вирішити спочатку на відрізку довжиною

, наприклад, на відрізку

Будуємо графіки функцій

і

(

)

На відрізку функція синус зростає, і рівняння

, де

, має один корінь

. На відрізку

функція синус убуває, і рівняння

має корінь

. На числовому проміжку

графік функції

розташована вище графіка функції

. Тому для всіх

із проміжку

) нерівність

виконується, якщо

. У силу періодичності функції синус всі рішення нерівності

задаються нерівностями виду:

Аналогічно вирішуються нерівності ,

, і т.п.

Приклад Вирішимо нерівність .

Рішення. Розглянемо графік функції

і виберемо із проміжку на осі

значення аргументу

, яким відповідають крапки графіка, що лежать вище осі

. Таким проміжком є інтервал

. З огляду на періодичність функції

всі рішення нерівності

можна записати так:

Відповідь.

Приклад Вирішите нерівність .

Рішення. Намалюємо графік функції . Знайдемо крапку перетинання цього графіка з горизонтальної прямої

.

Це крапка з абсцисою . За графіком видно, що для всіх

графік функції лежить нижче прямій

. Отже, ці

й становлять:

Відповідь.

ВІДБІР КОРНІВ

Проблема відбору корнів, відсівання зайвих корнів при рішенні тригонометричних рівнянь досить специфічна й звичайно виявляється більше складної, чим це мало місце для рівнянь алгебраїчних. Приведемо рішення рівнянь, що ілюструють типові випадки появи сторонніх корнів і методи <> з ними.

Приклад Знайти найближчий до числа корінь рівняння

Рішення

Характеристики

Список файлов ВКР