86400 (589978), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Інший шлях. Оскільки

,

те, заміняючи й

по формулах зниження ступеня. Після невеликих перетворень одержимо

Звідки

На перший погляд ніяких особливих переваг у другої формули в порівнянні з першої немає. Однак, якщо візьмемо, наприклад,

те виявиться, що

тобто рівняння

має рішення

у той час як перший спосіб нас приводить до відповіді

Побачити" і довести рівність

не так просто.

Відповідь.

Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь

Будемо розглядати арифметичну прогресію, що нескінченно простирається в обидва боки. Члени цієї прогресії можна розбити на дві групи членів, що розташовуються вправо й уліво від деякого члена, називаного центральним або нульовим членом прогресії.

Фіксуючи один зі членів нескінченної прогресії нульовим номером, ми повинні будемо вести подвійну нумерацію для всіх членів, що залишилися: позитивну для членів, розташованих вправо, і негативну для членів, розташованих уліво від нульового.

У загальному випадку, якщо різниця прогресії , нульовий член

, формула для кожного (

-го) члена нескінченної арифметичної прогресії представляє вид:

Перетворення формули для будь-якого члена нескінченної арифметичної прогресії

1. Якщо до нульового члена додати або відняти різниця прогресії

, то від цього прогресія не зміниться, а тільки переміститься нульовий член, тобто зміниться нумерація членів.

2. Якщо коефіцієнт при змінній величині помножити на

, то від цього відбудеться лише перестановка правої й лівої груп членів.

3. Якщо послідовних членів нескінченної прогресії

наприклад

,

,

, ...,

зробити центральними членами прогресій з однаковою різницею, рівної

:

те прогресія (??) й ряд прогресій (??) виражають собою ті самі числа.

Приклад Ряд

може бути замінений наступними трьома рядами

,

,

4. Якщо нескінченних прогресій з однаковою різницею

мають центральними членами числа, що утворять арифметичну прогресію з різницею

, то ці

рядів можуть бути замінені одною прогресією з різницею

, і із центральним членом, рівним кожному із центральних членів даних прогресій, тобто якщо

те ці прогресій поєднуються в одну

Приклад

,

,

,

обидві поєднуються в одну групу

, тому що

Для перетворення груп, що мають загальні рішення, у групи, загальних рішень не дані групи, що мають, розкладають на групи із загальним періодом, а потім об'єднати групи, що вийшли, виключивши повторювані.

Розкладання на множники

Метод розкладання полягає в наступному: якщо

те всяке рішення рівняння

є рішення сукупності рівнянь

??()

Зворотне твердження, загалом кажучи невірно: не всяке рішення сукупності є рішенням рівняння. Це пояснюється тим, що рішення окремих рівнянь (??) можуть не входити в область визначення функції .

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Використовуючи основну тригонометричну тотожність, рівняння представимо у вигляді

Відповідь. ;

Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Застосуємо формулу (??), одержимо рівносильне рівняння

Відповідь.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. У цьому випадку, перш ніж застосовувати формули суми тригонометричних функцій, варто використовувати формулу приведення

У підсумку одержимо рівносильне рівняння

Відповідь. ,

.

Рішення рівнянь добутку тригонометричних функцій у суму

При рішенні ряду рівнянь застосовуються формули.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Застосувавши формулу (??), одержимо рівносильне рівняння:

Відповідь. ,

Приклад Вирішити рівняння

.

Рішення. Застосувавши формулу (??), одержимо рівносильне рівняння:

.

Відповідь.

Рішення рівнянь із застосуванням формул зниження ступеня

При рішенні широкого кола тригонометричних рівнянь ключову роль грають формули.

Приклад Вирішити рівнянн

Рішення. Застосовуючи формулу, одержимо рівносильне рівняння.

.

Відповідь. ;

.

Рішення рівнянь із формул потрійного аргументу

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Застосуємо формулу (??), одержимо рівняння

Відповідь. ;

.

Приклад Вирішити рівняння

.

Рішення

Застосуємо формули зниження ступеня одержимо

Застосовуючи (??) одержуємо

Відповідь. ;

Рівність однойменних тригонометричних функцій

Приклад Вирішити рівняння

.

Рішення

Відповідь. ,

.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо рівняння

Відповідь. .

Приклад Відомо, що й

задовольняють рівнянню

Знайти суму .

Рішення. З рівняння треба, що

Відповідь.

Помноження на деяку тригонометричну функцію

Розглянемо суми виду

Дані суми можна перетворити в добуток, до множив і розділивши їх на

, тоді одержимо

Зазначений прийом може бути використаний при рішенні деяких тригонометричних рівнянь, однак варто мати на увазі, що в результаті можлива поява сторонніх корінь. Приведемо узагальнення даних формул:

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Видно, що множина є рішенням вихідного рівняння. Тому множення лівої й правої частини рівняння на

не приведе до появи зайвих корінь.

Маємо

Відповідь. ;

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. До множимо ліву й праву частини рівняння на

й застосувавши формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, отримаємо

Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь

і

, звідки

й

Тому що корінь рівняння

не є коріннями рівняння, то з отриманих множин рішень варто виключити

Значить у множині

потрібно виключити

.

Відповідь. і

,

.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо вираження

Рівняння запишеться у вигляді

Приймаючи , одержуємо

.

,

Отже

Відповідь.

Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних

Зведених до квадратних

Якщо рівняння має вигляд

те заміна приводить його до квадратного, оскільки

((??) ) і (??).

Якщо замість доданка буде

, то потрібна заміна буде

Рівняння

зводиться до квадратного рівняння

поданням як

. Легко перевірити, що

при яких

, не є коріннями рівняння, і, зробивши заміну

, рівняння зводиться до квадратного.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перенесемо в ліву частину, замінимо її на

,

і

виразимо через

і

Після спрощень одержимо

Розділимо по членне на , зробимо заміну

:

Вертаючись до , знайдемо

Рівняння, однорідні відносно ,

Розглянемо рівняння виду

8()

де ,

,

, ...,

,

--- дійсні числа. У кожному складати^ся лівої частини рівняння (??) ступеня одночленів рівні

, тобто сума ступенів синуса й косинуса та сама й дорівнює

. Таке рівняння називається однорідним відносно

й

, а число

називається показником однорідності.

Ясно, що якщо , те рівняння прийме вид:

рішеннями якого є значення , при яких

, тобто числа

,

. Друге рівняння, записане в дужках також є однорідним, але ступеня на 1 нижче.

Якщо ж , то ці числа не є коріннями рівняння (??).

При одержимо:

,

і ліва частина рівняння (1) приймає значення

.

Отже, при ,

і

, тому можна розділити обидві частини рівняння на

. У результаті одержуємо рівняння:

яке, підстановкою легко зводиться до алгебраїчного:

Однорідні рівняння з показником однорідності 1. При маємо рівняння

.

Якщо , то це рівняння рівносильне рівнянню

,

, звідки

,

Приклад Вирішите рівняння

Рішення. Це рівняння однорідне першого ступеня . Розділимо обидві його частини на

одержимо:

,

,

,

Відповідь. .

Приклад При одержимо однорідне рівняння виду

Рішення

Якщо , тоді розділимо обидві частини рівняння на

, одержимо рівняння

, що підстановкою

легко приводиться до квадратного:

. Якщо

, то рівняння має дійсні коріння

,

. Вихідне рівняння буде мати дві групи рішень:

,

,

.

Якщо , то рівняння не має рішень.

Приклад Вирішите рівняння .

Рішення

Це рівняння однорідне другого ступеня. Розділимо обидві честі рівняння на , одержимо

Нехай , тоді

,

,

.

,

,

;

,

,

Відповідь.

До рівняння виду (??) зводиться рівняння

Для цього досить скористатися тотожністю

Зокрема, рівняння

зводиться до однорідного, якщо замінити на

тоді одержимо рівносильне рівняння

Приклад Вирішите рівняння

Рішення. Перетворимо рівняння до однорідного

Розділимо обидві частини рівняння на , одержимо рівняння:

Нехай , тоді приходимо до квадратного рівняння

,

Характеристики

Список файлов ВКР