86214 (589944), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Замечание 1. Согласно этому определению включение является частным случаем параллельности.

Замечание 2. Если П_k параллельна П_l, причём k = l, то L_k совпадает с L_l.

Замечание 3. Убедимся, что при n = 3 частные случаи k = l = 1,

k = l = 2 и k =1, l = 2 согласуются с понятием параллельности прямых и плоскостей, известным из элементарной геометрии (рис. 19)

а) б) в)

Рис. 19

Пусть в произвольной аффинной системе координат две плоскости П и П^l одинаковой размерности заданы системами линейных уравнений. Пользуясь определением параллельности, нетрудно установить следующее утверждение.

Утверждение. Для того, чтобы П и П^’ были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие однородные системы уравнений были эквивалентны.

В частности, две гиперплоскости параллельны тогда и только тогда, когда в одних и тех же координатах они задаются уравнениями

и (6. 6)

(6. 7)

с пропорциональными коэффициентами при переменных:

.

Теорема 1. Пусть в аффинном пространстве U_n даны плоскость П_k и точка В. Тогда существует единственная плоскость размерности k, проходящая через точку В параллельно П_k. Если , то совпадает с П_k; если точка В расположена вне П_k, то плоскости П_k и

не пересекаются.

Скрещивающиеся плоскости

Определение. Две плоскости называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны.

Известно, что в трёхмерном пространстве U₃ две прямые линии, т. е. одномерные плоскости, могут скрещиваться, тогда как прямая линия и двумерная плоскость в U₃ скрещиваться не могут. С повышением размерности пространства оно становится более просторным, в результате чего появляется возможность строить в нём скрещивающиеся плоскости разных размерностей, а не только одномерные. Ниже сформулирована теорема 2, содержание которой можно рассматривать как общий приём построения скрещивающихся плоскостей. Именно, пусть в аффинном пространстве U_n дана плоскость П_l (l < n). Возьмём произвольную плоскость П_k так, чтобы П_k и П_l не были параллельны и пересекались; плоскость, по которой они пересекаются, обозначим через П_m. Пусть П_r - плоскость наименьшей размерности, содержащая П_k и П_l. Мы знаем, что r = k + l – m.

Теорема 2. Если , то всякая k-мерная плоскость, которая параллельна П_k и не лежит в П_r, скрещивается с П_l.

Следствие. Если целые числа k, l, m, n удовлетворяют неравенствам

, , , то в U_n найдутся скрещивающиеся плоскости П_k и П_l с направляющими подпространствами L_k и L_l, пересечение которых имеет размерность m.

Доказательство теоремы 2. Так как , то плоскость П_r не исчерпывает собой всего пространства U_n. Это позволяет взять (с большим произволом) точку С, не лежащую в П_r. Обозначим через плоскость размерности k, проходящую через точку С, параллельно П_k. Ясно, что не содержится в П_r и что, выбирая по-разному точку С, мы можем получить любую k-мерную плоскость, удовлетворяющую условию теоремы. (См. рис. 14, на котором k = l = 2, r = 2, n = 4, и трёхмерные плоскости условно изображены в виде параллелепипеда).

Рис. 20

Докажем, что плоскости П_l и скрещиваются. Заметим, что плоскость не параллельна П_l, так как в противном случае или , или , что противоречит условию расположения плоскостей П_k и П_l.

Теперь докажем, что и П_l не пересекаются. Проведём через точку С вспомогательную r-мерную плоскость , параллельную П_r. Тогда и поэтому П_k не может пересечь П_l ибо в противном случае точка их пересечения принадлежала бы параллельным плоскостям П_r и . Следовательно, скрещивается с П_l. Теорема 2 доказана.

Пусть в n-мерном аффинном пространстве U_n даны скрещивающиеся плоскости П_k и П_l с направляющими подпространствами L_k и L_l, причём

, .

Теорема 3. Существует единственная плоскость П_r+1 размерности , содержащая плоскости П_k и П_l.

Доказательство. Возьмём произвольную точку и зафиксируем произвольную точку ; обозначим через линейную оболочку вектора (рис. 16). Допустим, что существует какая-то плоскость

, содержащая П_k и П_l; пусть - её направляющее подпространство. Очевидно, что должно содержать L_k, L_l и , а следовательно, и сумму этих подпространств. Обозначим эту сумму через L_r+1:

Обратно, если - любое подпространство, включающее L_r+1, то

, проходящая через точку А в направлении , будет содержать П_k и П_l. В самом деле, так как и

, то ; так как , то

, так как и , то .

Рис. 21

Получим среди всех плоскостей искомую плоскость П_r+1 минимальной размерности r + 1 в том единственном случае, когда в качестве

берётся L_r+1. Подсчитаем r + 1. С этой целью рассмотрим и обозначим размерность через р. По теореме 3 (в n-мерном пространстве L имеются подпространства L_k и L_l, размерности которых соответственно равны k и l. Если их пересечение имеет размерность m, то размерность их суммы L_k + L_l равна r = k + l – m) имеем р = k + l – m.

Покажем, что есть прямая сумма, поэтому размерность L_r+1 равна р + 1, то есть (r + 1) = (k + l – m) +1.

Для этого достаточно показать, что вектор не принадлежит пространству . Предположим противное. Пусть

. Тогда по определению суммы подпространств существуют векторы х и у такие, что , , . (v) По первой аксиоме аффинного пространства найдётся точка С такая, что , причём . По второй аксиоме аффинного пространства . (vv)

Учитывая (v), (vv), находим, что , так что . Получается, что плоскости П_k и П_l имеют общую точку С, но это невозможно, поскольку плоскости П_k и П_l скрещиваются. Теорема 3 доказана.

Замечание. Рисунок 20 лишь частично иллюстрирует теорему 3. Например, если размерности П_k и П_l больше m и различны между собой, , то, как,

Проведённые выше рассуждения показывают, что плоскости П_k и П_l, о которых идёт речь в теореме 3, не содержатся ни в какой плоскости меньшей размерности, чем r + 1.

Сохраняя обозначения предыдущего подпункта, сформулируем достаточное условие пересечения двух плоскостей.

Теорема 4. Если в U_n даны плоскости П_k и П_l, такие, что , где m – размерность пересечения L_m направляющих подпространств L_k и L_l, то П_k и П_l пересекаются.

Доказательство. Исключая тривиальный случай, когда какая-нибудь из данных плоскостей совпадает со всем пространством, имеет

В расположении двух данных плоскостей могут быть лишь три возможности:

либо П_k параллельна П_l;

либо плоскости П_k и П_l скрещиваются;

либо они пересекаются.

Если П_k параллельна П_l, то для размерности m пересечения соответствующих им пространств L_k и L_l имеем m = min (k, l). Теорема доказана.

2. Размерность многообразия k-плоскостей

Найдём размерность Р_n,k, многообразия всех k-плоскостей

n-пространства.

Прежде всего заметим, что число параметров, от которых зависят k+1 точек M₀, M₁, …, M_k n – пространства с линейно независимыми векторами , через которые проходит единственная k-плоскость, равно числу координат, этих точек, т. е. (k +1)n. Далее заметим, что число параметров, от которых зависят те же точки на k-плоскости, равно числу параметров этих точек, т. е. (k +1)k. Так как в n-пространстве, число параметров, от которых зависят точки равно сумме числа Р_n,k и числа параметров, от которых зависят точки на k-плоскости, то получим, что

, т. е.

. (6. 7)

§ 7. K-параллелепипеды в пространстве

1. Полуплоскости и параллелепипеды

Если в уравнении

(7. 1)

k-плоскости придавать одному из параметров t^b только неотрицательные значения , а остальным параметрам – произвольные действительные значения, мы получим k-полуплоскость, ограничиваемую (k-1)-плоскостью,

(7. 2)

Если в том же уравнении (7. 1) придать всем параметрам только значения , мы получим k-параллелепипед с вершинами

;

2-параллелепипеды называются параллелограммами.

Условимся называть k-параллелепипед с вершинами А₀, А₁, А₂, …, А_12…k параллелепипедом А₀ А₁ А₂ … А_12…k.

На рисунке 22 изображён 3-параллелепипед

А₀ А₁ А₂ А₃ А₁₂ А₁₃ А₁₂₃

и параллелограмм А₀ А₁ А₂ А_12.

а) б)

Рис. 22

2. Грани параллелепипеда

Придавая в уравнении (7. 1) значения всем параметрам при , а параметру - значения или , мы получим (k - 1)-параллелепипеды, являющиеся гранями k-параллелепипеда. Грани этих (k- 1)-параллелепипедов называются (k - 2)-гранями k-параллелепипеда, грани этих (k–3)-гранями k-параллелепипеда и т. д. Таким образом, k-параллелепипед обладает р – гранями, где р – пробегает значения от 0 до k – 1, 0-грани параллелепипеда совпадают с его вершинами, 1-грани называются рёбрами (при m= 2 - сторонами). На рисунке 22 (а) стороны параллелограмма – четыре отрезка А₀ А₁, А₀ А₂, А₀ А₃, А₀ А₁₂, А₁ А₁₃, А₂ А₁₂, А₂ А₂₃, А₃ А₁₃, А₁₂ А₁₂₃, А₁₃ А₁₂₃, А₂₃ А₁₂₃; 2-грани - шесть параллелограммов А₀ А₁ А₁ А₁₂, А₀ А₁ А₃ А₁₃, А₀ А₂ А₃ А₂₃, А₁ А₁₂ А₁₃ А₁₂₃, А₂ А₁₂ А₂₃ А₁₂₃, А₃ А₁₃ А₂₃ А₁₂₃.

Число р-граней k-параллелепипеда равно , где - число сочетаний из k по р.

3. Объём прямоугольного параллелепипеда

Характеристики

Список файлов ВКР