86214 (589944), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Рис. 9

х = 0, у = 0, (ребро АА₁)

, у = 0, z = 1 (ребро АB₁)

х = 1, , z = 1 (ребро B₁А₁) и т. д.

Определение. Рёбрами четырёхмерного куба называется множество точек, для которых все координаты, кроме одной, постоянны (равны 0, либо 1), а четвёртая принимает все возможные значения от 0 до 1.

Прежде всего будем различать четыре группы рёбер: для первой пусть переменной координатой является х ( ), а y, z, t принимают постоянные значения 0 и 1 во всех комбинациях. Так как существует 8 различных троек из нуля и единицы. Поэтому рёбер первой группы – 8. Рёбер второй группы, для которых переменной является не х, а у, тоже 8. Таким образом, ясно, что всего у четырёхмерного куба 32 ребра. Кроме рёбер у куба есть грани, которые, в свою очередь разделяются на двумерные и трёхмерные грани четырёхмерного куба. У четырёхмерного куба 24 двумерных грани и 8 – трёхмерных (они изображены параллелепипедами (рис. 10)).

4 - мерный куб Рис. 10

§ 6. Геометрия k-плоскостей в аффинном и евклидовом пространствах

Определение k-плоскости

Пусть в n-мерном аффинном пространстве U_n зафиксирована произвольная точка А, и в соответствующем линейном пространстве L_n зафиксировано произвольное k-мерное подпространство L_k.

Определение. Множество всех точек М аффинного пространства, для которых АМ L_k, называют k-мерной плоскостью, проходящей через точку А в направлении подпространством L_k.

Рис. 11, где k = 2

Говорят также, что L_k есть направляющее подпространство этой плоскости. Очевидно, что каждая плоскость определяет однозначно своё направляющее пространство.

Точку М называют текущей точкой плоскости. На рисунке показаны три положения М₁, М₂, М₃ текущей точки М.

Частные случаи k-плоскостей

Если k = 0, то плоскость состоит из одной точки А. Поэтому каждую точку аффинного пространства можно рассматривать как нуль-мерную плоскость.

Одномерная плоскость называется прямой линией.

Плоскость размерности n – 1 называется гиперплоскостью.

При k = n плоскость совпадает со всем пространством U_n.

В определении плоскости выделена точка А. Докажем, что в действительности все точки плоскости равноправны.

Обозначим плоскость через П_k и зафиксируем произвольную точку В . Надо доказать, что точка М принадлежит плоскости П_k тогда и только тогда, когда (т. е. что любая точка М может играть роль А).

Пусть . По определению плоскости . Отсюда и по определению подпространства , поэтому . Обратно, если , то следовательно, .

Рис. 12

Теорема. Всякая k-мерная плоскость в аффинном пространстве сама является k-мерным аффинным пространством.

Доказательство. Пусть дано аффинное пространство U, которому соответствует линейное пространство L, пусть П_k – плоскость, проходящая через точку А в направлении подпространства L_k. Возьмём в плоскости П_k две произвольные точки M, N . По определению аффинного пространства им соответствует вектор . По определению плоскости векторы АМ и АN принадлежат подпространству L_k.

Следовательно, . Таким образом, каждой упорядоченной паре точек М, N плоскости П_k, поставим в соответствие вектор MN из k-мерного пространства L_k. При этом соблюдаются для П_k аксиомы, вытекающие из определения k-мерной плоскости и для всего аффинного пространства U. Теорема доказана.

Замечание. Если плоскость проходит через начало аффинной системы координат в направлении подпространства L_k, то совокупность радиус-векторов её точек образует подпространство, по определению совпадающее с подпространством L_k.

Пусть в аффинном пространстве U даны точки А₀, А₁,…, А_k (в числе k + 1). Эти точки находятся в общем положении, если они не принадлежат ни одной (k –1)-мерной плоскости .

Проверим, что точки А₀, А₁,…, А_k находятся в общем положении тогда и только тогда, когда векторы А₀А₁,…, А₀А_k линейно независимы (рис. 13), причём безразлично, какую из точек брать в качестве А₀ (то есть за начало векторов, идущих из неё в другие точки).

Рис. 13

Из сказанного в этом пункте и из определения плоскости следует, что через систему точек А₀, А₁,…, А_k, находящихся в общем положении, проходит k-мерная плоскость и притом только одна.

Предположим, что в пространстве U_n зафиксирована какая-нибудь аффинная система координат с началом О и базисом е₁, е₂, …, е_n. Рассмотрим плоскость П_k, проходящую через точку А в направлении подпространства L_k.

Будем считать, что точка А имеет координаты р₁, р₂, …, р_n и что L_k задаётся как независимая система векторов q₁, q₂, …, q_k. Тогда радиус-вектор ОМ текущей точки плоскости можно записать в виде

(6. 1)

где параметры τ₁, τ₂, …, τ_k независимо друг от друга пробегают всевозможные числовые значения, а вектор (рис. 14)

Рис. 14

Разложим вектор q₁, q₂, …, q_k по базису е₁, е₂, …, е_n:

Координаты текущей точки М обозначим, как обычно, через (x₁, x₂, …, x_n) и запишем векторное равенство в координатах. В результате получим n числовых равенств.

(6. 2)

Эти равенства называются параметрическими уравнениями плоскости П_k.

Пример. Пространство, изучаемое в стереометрии, является трёхмерным аффинным пространством. В нём одномерные и двумерные плоскости совпадают соответственно с прямыми линиями и плоскостями, понимаемыми в элементарно-геометрическом смысле. В отличие от пространства, изучаемого в элементарной геометрии, в аффинном пространстве не определены метрические понятия: расстояния между точками и длины линий, площади и объёмы фигур, углы и перпендикулярность. При исследовании фигур в аффинном пространстве изучаются лишь те геометрические свойства, которые не зависят от метрических понятий.

2. Уравнения k-плоскости по k+1 точкам

Если заданы k+1 точек А₀(х₀), А₁(х₁), …, А_n(х_n) и векторы А₀А_{а =} х_а – х₀ независимы, то эти точки определяют единственную k – плоскость, проходящую через них: в этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы А₀А_а и векторное уравнение k-плоскости можно записать в виде

(6. 3)

Будем называть k-плоскость, определяемую точками А₀(х₀), А₁(х₁), …, А_n(х_n), k-плоскостью А₀, А₁, …, А_k.

Случай k = n-1

В дальнейшем будем часто иметь дело с k-поверхностями и k-плоскостями при k = n – 1. Говоря, «поверхность n-пространства» и «плоскость n-пространства», но иметь в виду (n – 1)-поверхность и (n – 1)-плоскость этого пространства. Часто поверхность и плоскость называется соответственно гиперповерхностью и гиперплоскостью.

Поверхность можно задать одним координатным уравнением

(6. 4)

если координаты xⁱ, удовлетворяющие этому уравнению, можно представить как функции n – 1 параметров t₁, t₂, …, t_n-1, то получим

F(x) = 0. (6. 5)

3. Взаимное расположение плоскостей

3. 1 Пересекающиеся плоскости

Во всём этом пункте размерности плоскостей и подпространств обозначены индексами снизу. Пусть две плоскости П_k и П_l пересекаются, то их пересечением является некоторая плоскость П_m.

k = l = 2, m = 1 Рис. 15

Замечание 1. Не исключена возможность, что П_m состоит из одной точки (m = 0). Это видно на примере двух пересекающихся прямых или прямой и плоскости (рис. 16).

Рис. 16

В общем случае по одной точке могут пересекаться две плоскости, сумма разностей которых не превышает размерности пространства, например, двумерные плоскости в четырёхмерном пространстве.

Замечание 2. Не исключено и другое, когда одна из двух плоскостей целиком принадлежит другой. Например, , тогда (рис. 17)

k = m = 1, l = 2

Рис. 17

2) Если плоскости П_k и П_l пересекаются по плоскости П_m, то существует единственная плоскость П_r, размерности r = k + l – m, содержащая П_k и П_l, причём ни в какой плоскости меньшей размерности П_k и П_l не могут одновременно поместиться. Направляющее подпространство L_r плоскости П_r является суммой направляющих подпространств L_k и L_l. Эта сумма является прямой суммой тогда и только тогда, когда П_k и П_l пересекаются по одной точке (m = 0, см. рис. 18).

Рис. 18

В частном случае, когда n = k + l – m, роль плоскости П_r выполняет всё пространство U_n (при r = n = 3 см. рис. 15).

3) Если пересекающиеся плоскости П_k и П_l содержатся в какой-нибудь плоскости П_r, то размерность их пересечения . В частности, для любых двух непересекающихся плоскостей из U_n.

4) Если плоскости П_k и П_l проходят через точку А в направлении подпространств L_k и L_l соответственно и если L_k содержится в L_l, то плоскость П_k содержится в плоскости П_l. Если при этом k = l, то П_k совпадает с П_l (также и L_k совпадает с L_l).

Параллельные плоскости

Пусть теперь плоскость П_k определяется точкой А и подпространством L_k, а плоскость П_l – точкой В и подпространством L_l. Будем считать, что .

Определение: Плоскость П_k параллельна плоскости П_l, если .

В этом случае плоскость П_l параллельна плоскости П_k.

Характеристики

Список файлов ВКР