86214 (589944), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

§ 3. Евклидово векторное пространство

Строя аксиоматическую теорию аналитической геометрии на векторной основе, введём следующее определение.

Определение 1: Скалярным произведением на векторном пространстве V называется операция, которая любой паре векторов a и b ставит в соответствие некоторое действительное число, обозначаем символом a b и обладающее следующими свойствами:11. Для любых векторов a, b V и любого вектора a b= b а;12. Для любых двух векторов a, b V и любого числа .13. Для любых трёх векторов a, b, c V ;14. Для любого ненулевого вектора а V aa>0.

Определение 2: Векторное пространство V_n, в котором введена операция скалярного произведения векторов, удовлетворяющая аксиомам 11-14, называется евклидовым векторным пространством. Будем обозначать его символом Е_n.

На основе определения 1 можно ввести понятие длины вектора и величины угла между векторами.

Число аа называется скалярным квадратом вектора а и обозначается а². Из аксиомы 14 следует, что а²>0, следовательно, - действительное положительное число. Оно называется длиной или нормой вектора и обозначается: . Если 1, то вектор а называется единичным.

На основе аксиом 11-14 можно указать следующие утверждения: Для любых векторов a, b₁, b₂,…, b_n выполняется равенство

.

, где а – произвольный вектор;

Если , то , а если , то ;Если , то .

Можно показать, что если , то вектор является единичным, его называют ортом вектора а. Он определяет то же направление, что и вектор а.

При решении метрических задач, т. е. задач, связанных с измерением длин векторов и величин углов, пользуются ортонормированным базисом.

Определение: Базис называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональны, т. е. если и ( ) при .

Теорема. В евклидовом пространстве Е_n существуют ортонормированные базисы.

Действительно, если (а₁, а₂,…, а_n) – ортогональный базис, то можно рассмотреть векторы

, ,…, .

Ясно, что базис (е₁, е₂,…, е_n) ортонормированный, так как его векторы единичные и попарно ортогональны.

Введём обозначения: В=(i, j) или B=(i, j, k) – ортонормированные базисы евклидовых векторных пространств Е₂ и Е₃ соответственно.

§ 4. Понятие точечно-векторного аффинного n-мерного пространства

В § 2 и § 3 были аксиоматически определены различные векторные пространства: линейные векторные, n-мерные векторные, евклидовы векторные. Но для построения геометрии, то есть для рассмотрения различных геометрических фигур, одних векторов недостаточно, нужны ещё точки.

Аксиоматизируя построение вектора по двум точкам, введём следующее определение.

Определение. Аффинным пространством называют некоторое множество А^* элементов произвольной природы, называемых точками, для которого задано

а) некоторое векторное пространство V;

б) отображение, которое любым двум точкам А и В А^* ставит в соответствие некоторый вектор из V, обозначаемый АВ.

При этом требуется выполнение следующих аксиом:

15. Для любой точки А А^* и любого вектора А из V существует единственная точка В А^* и любого вектора а V существует единственная точка В А^*, такая что АВ=а.

16. Для любых трёх точек А, В, С A^* имеет место равенство АВ+ВС=АС.

Аксиома 15 называется аксиомой откладывания вектора от точки, а аксиома 16 – аксиомой треугольника, из которой следует правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов.

Размерность пространства V называется размерностью соответствующего аффинного пространства А^* и обозначается символом А^*_n.

Отметим некоторые важные следствия из аксиом 15-16.

При любом выборе точки А вектор АА нулевой.

Если АВ=0, то точки А и В совпадают.

Для любых точек А и В АВ = - ВА.

Если АВ=СD, то АС=ВD.

Для произвольных точек А₁, А₂,…, А_n выполняется равенство А₁А₂+ А₂А₃+ А_n-1А_n= А₁А_n (правило многоугольника сложения векторов).

Пространство А^*_n содержит бесчисленное множество точек.На основе аксиом 1-10 и 15-16 аффинной геометрии нельзя ввести понятий длин отрезков и величин (мер) углов. Эти понятия можно ввести, используя скалярное произведение векторов.

Как известно, введение в V_n скалярного произведения векторов приводит к евклидову векторному пространству Е_n.

Определение. Аффинное пространство А_n^*, в котором соответствующее ему векторное пространство V_n превращено в евклидово векторное пространство Е_n, называется евклидовым n-мерным пространством.

Для этого пространства введём обозначение Е_n. Согласно определению ясно, что всякое аффинное пространство А_n^* можно превратить в евклидово пространство Е_n, задавая на векторном пространстве V_n скалярное произведение векторов, удовлетворяющее аксиомам 11-14 (§ 3).

Таким образом, в Е_n выполняются аксиомы 1-16.

На основе аксиом евклидова пространства строится евклидова геометрия.

В евклидовой геометрии, очевидно, справедлива вся изложенная выше теория аффинной геометрии. Но пространство Е_n обладает метрическими свойствами, которые следуют из аксиом скалярного произведения векторов и связаны с измерением длин отрезков и мер углов. Поэтому евклидову геометрию называют ещё метрической геометрией.

Метрические аксиомы позволяют установить метрику евклидова пространства, т. е. расстояния между его точками. Определим сначала модуль |a| вектора а как неотрицательный корень из его квадрата, т. е.

(4.1)

Векторы, модуль которых равен 1, будем называть единичными векторами; единичный вектор будем обозначать а⁰.

Будем считать расстоянием между точками А и В модуль вектора АВ; будем обозначать это расстоянием АВ.

Таким образом, расстояние АВ между точками А(х) и В(y) определяется соотношением

(4.2)

Из определения расстояния следует, что

Расстояние симметрично, т. е.

АВ=ВА (4.3)

Расстояние позитивно, т. е. (4.4) AB ≥ 0, причём знак равно имеет место только при совпадении точек А и В.Покажем, что для расстояний между точками евклидова пространства помимо свойств 1 и 2 выполняется также «неравенство треугольника».расстояние между всякими двумя точками не более суммы расстояний между этими точками и третьей точкой, т. е.

АС ≤ АВ + ВС (4.5)

Множество точек, для всяких двух точек А и В которого определено число АВ, удовлетворяющего условиям 1-3, называется метрическим пространством. Для доказательства неравенства треугольника докажем так называемое неравенство Коши

(4.6)

Скалярный квадрат вектора a – tb неотрицателен при любом вещественном t

, т. е. .

В случае b = 0 обе части неравенства (4.6) равны 0, т. е. неравенство выполняется автоматически.

Если , получим .

Тогда неравенство примет вид

, т. е. ,

что равносильно неравенству (4.6). Рассмотрим три точки А(х), В(у) и С(z). Тогда

Рис. 1

Но в силу неравенства Коши . Поэтому , откуда получаем неравенство (4.5).

Глава II. Многомерные геометрические образы в n-мерных пространствах

§ 5. Четырёхмерное пространство. Определение и его исследование

При построении геометрии на прямой, на плоскости и в трёхмерном пространстве есть две возможности: либо излагать материал с помощью наглядных представлений (этот способ характерен для школьного курса, поэтому трудно себе представить учебник геометрии без чертежей), либо – и эту возможность даёт нам метод координат – излагать его чисто аналитически, назвав, например, точкой плоскости в курсе планиметрии пару чисел (координаты этой точки), а точкой пространства – тройку чисел.При введении четырёхмерного пространства первая возможность у нас отсутствует. Мы не можем непосредственно пользоваться наглядными геометрическими представлениями – ведь окружающее нас пространство имеет всего три измерения. Однако вторая версия для нас не закрыта. В самом деле, мы определяем точку прямой как число, точку плоскости как пару чисел, точку трёхмерного пространства как тройку чисел. Поэтому совершенно естественно построить геометрию четырёхмерного пространства, определив точку этого воображаемого пространства как четвёрку чисел. Под геометрическими фигурами в таком пространстве нужно будет понимать некоторые множества точек (как, впрочем, и в случае обычной геометрии). Перейдём теперь к точным определениям.

Координатные оси и плоскости

Определение. Точкой четырёхмерного пространства называется упорядоченная четвёрка чисел (x, y, z, t).

Что считать в пространстве четырёх измерений координатными осями и сколько их?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на время к плоскости и трёхмерному пространству.

На плоскости (т. е. в пространстве двух измерений) координатные оси – это множества точек, у которых одна из координат может иметь одно числовое значение, а вторая равна нулю. Так, ось абсцисс – это множество точек вида (х, 0), где х – любое число. Например, на оси абсцисс лежат точки (1, 0), (-3, 0), а точка (1/5, 2) не лежит на оси абсцисс.

Рис. 2

Ось ординат плоскости – это множество точек вида (0, у), где у – любое число. В трёхмерном пространстве есть три оси: ось х – это множество точек вида (х, 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у, 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z), где z – любое число.В четырёхмерном пространстве, состоящем из всех точек вида (x, y, z, t), где x, y, z, t – любые числа, естественно считать координатными осями такие множества точек, у которых одна из координат принимает любые числовые значения, а остальные равны нулю. Тогда ясно, что в четырёхмерном пространстве есть четыре координатные оси: ось х – это множество точек вида (х, 0, 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у, 0, 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z, 0), где z – любое число, где у – любое число; ось t – множество точек вида (0, 0, 0, t), где t – любое число. В трёхмерном пространстве, кроме координатных осей, имеются ещё координатные плоскости. Это – плоскости, проходящие через две какие-либо две координатные оси. Например, плоскость yz – это плоскость, проходящая через ось y и ось z.

Всего в трёхмерном пространстве есть три координатные плоскости:

плоскость xy – множество точек вида (х, у, 0), где х и у – любые числа;

плоскость yz – множество точек вида (х, 0, z), где х и z – любые числа;

плоскость yz – множество точек вида (0, у, z), где y и z – любые числа.

Характеристики

Список файлов ВКР