85725 (589862), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

снова будет принадлежать группе , так как тоже будет симметрической. В действительности и сопряжены в . Чтобы убедиться в этом, заметим, что при подходящей матрице из . Преобразование , определенное матрицей

принадлежит группе , и , так как

Предложение 42 Предположим, что , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая регулярный элемент с вычетом , представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .

Доказательство. Имеем разложение , где - регулярная плоскость. Рассмотрим группу

Тогда . Кроме того, . Это очевидно, если ; если же , то применяем 2.1.12 и теорему 2.1.11 6. Поэтому - нормальная подгруппа в , не содержащаяся в . Отсюда следует, что . В частности, если - фиксированная прямая в , то содержит все трансвекции плоскости с вычетной прямой . Следовательно, содержит все трансвекции из с вычетной прямой , а потому в силу 39 вообще все трансвекции из и .

Предложение 43 Предположим, что , или , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая вырожденный элемент с вычетом 2, представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .

Доказательство. 1) Модификация рассуждений, использованных при доказательстве утверждения 42, позволяет считать, что , если , и , если .

2) Рассмотрим сначала случай , . Тогда имеет вид , причем , а звездочки равны . Далее эти трансвекции перестановочны, так как , поэтому мы можем, если нужно, заменить на и считать, что на самом деле . Можно считать, что эта новая есть . В самом деле, если , то с помощью теоремы Витта выберем такое , что , . Тогда

Заменим теперь на

Итак, можно считать, что . Дополним до симплектической базы

пространства и заметим, что

Подходящим сопряжением мы можем найти в линейные преобразования с матрицами

в базе . Произведение этих преобразований равно элементу из с матрицей

Следовательно, группа содержит . Таким образом, она содержит все (= обе) трансвекции из с вычетной прямой . Ввиду 39 отсюда следует, что содержит все трансвекции из и, значит, .

3) Пусть теперь , . Тогда и . Дополним до симплектической базы

Тогда

Сопряжение дает нам в линейные преобразования с матрицами

а потому и с матрицами

а значит, и с матрицей

Другими словами, содержит и, следовательно, все трансвекции из , откуда .

Предложение 44 Если , то за одним исключением: .

Доказательство. Пусть , для некоторого . По теореме Витта существует такое , что - плоскость и

Положим

Осталось применить 42 и 43. В исключительном случае применяем 37 и хорошо известные свойства группы .

Предложение 45 Если , то за одним исключением: .

Теоремы о простоте

Теорема 46 Для любого четного числа и любого поля группа проста за исключением группы , которая простой не является.

Доказательство. 1) Исключительное поведение группы следует из 45. Будем предполагать поэтому, что в общем случае и при . Вместо проективной группы мы будем иметь дело с группой . Достаточно рассмотреть нормальную подгруппу группы , не содержащуюся в подгруппе , и доказать, что .

2) Сначала покажем, что имеются , , такие, что - регулярная плоскость. Для этого возьмем в группе элемент . сдвигает по крайней мере одну прямую из , т. е. существует такая прямая из , что . Пусть - нетривиальная трансвекция из с вычетной прямой . Тогда элемент

принадлежит группе и является произведением двух трансвекции из с различными вычетными прямыми и . Поэтому вычетное пространство преобразования есть плоскость , в частности, . Если - гиперболическое преобразование, то - инволюция. Применим теперь утверждение 1.18, если характеристика равна , и утверждение 1.13, если характеристика не равна . Тогда, в частности, мы получим, что не является произведением трансвекции из , что противоречит допущению. Итак, не может быть гиперболическим. Значит, существует такой вектор , что , т. е. - регулярная плоскость.

3) Можно также показать, что имеются вектор и преобразование , такие, что - вырожденная плоскость. В самом деле, возьмем в элемент . Существует такой вектор , что . Если , то цель достигнута, поэтому будем считать, что . Выберем так, чтобы было

По теореме Витта в найдется преобразование , такое, что , . Тогда преобразование принадлежит и переводит в , поэтому - вырожденная плоскость.

4) Возьмем , так, чтобы плоскость была регулярной при и вырожденной при . Тогда преобразование

принадлежит группе , является произведением двух трансвекций из и его вычетное пространство есть плоскость . Поэтому .

Предложение 47 Если и - нормальная подгруппа группы , то или , за исключением группы , которая, очевидно, не обладает этим свойством.

Доказательство. По поводу исключения см. 44. Далее, применяя к теорему 46, получим, что или . Допустим последнее. Тогда

Предложение доказано.

Теорему о простоте можно также доказать, используя группы подстановок. Напомним, что группой подстановок непустого множества называется подгруппа группы всех подстановок множества . Далее, называется транзитивной, если для любых , существует такая подстановка из , что . Напомним, что разбиением множества называется множество попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых равно . Тривиальными называются два разбиения, состоящие соответственно из самого и из всех одноэлементных подмножеств. Транзитивная группа подстановок множества называется импримитивной, если существует такое нетривиальное разбиение множества , что для всех , . В противном случае группа называется примитивной. Следующий результат является здесь ключевым.

Предложение 48 Примитивная группа подстановок множества проста, если выполнены следующие условия:

1) ,

2) для некоторого стабилизатор содержит такую нормальную абелеву подгруппу , что порождается подгруппами , .

Для доказательства теоремы 46 с использованием этого результата рассмотрим как группу подстановок множества прямых пространства . Это возможно ввиду того, что , будучи подгруппой группы проективностей пространства , точно действует на и, значит, естественно изоморфна группе подстановок множества . Мы знаем, что группа транзитивна (теорема Витта), (см. 45) и, наконец, множество проективных трансвекций из с вычетной прямой вместе с тождественным преобразованием образует нормальную абелеву подгруппу стабилизатора прямой в , которая вместе со своими сопряженными в порождает группу . Поэтому все, что осталось сделать, прежде чем сослаться на 48, - это проверить, что группа примитивна.

Предложение 49 При группа подстановок множества прямых пространства примитивна.

Доказательство. 1) Рассмотрим разбиение множества , содержащее по крайней мере два подмножества, одно из которых, скажем , содержит не менее двух прямых. Нам нужно найти элемент группы , не сохраняющий это разбиение. Допустим, что такого элемента не существует.

2) Пусть сначала содержит две различные не ортогональные прямые , . Тогда каждые две различные прямые , из должны быть не ортогональны. В самом деле, если это не так, то найдутся различные , из , такие, что . Возьмем прямую из , не принадлежащую подмножеству . Если , то по теореме Витта существует такое преобразование из , что , , и, следовательно, оно нарушает разбиение. Если , то снова по теореме Витта имеется такое , что , и, значит, опять нарушает разбиение. Итак, никакие две различные прямые из не является ортогональными. Только что проведенные рассуждения показывают, что если - произвольная прямая из , то содержит все прямые из , не ортогональные к . Теперь очевидно, что можно найти в прямую , не ортогональную к , но ортогональную к тогда первое условие влечет за собой, что , а второе - что , - противоречие.

3) Мы можем, таким образом, считать, что все прямые из попарно ортогональны. Рассуждения, использованные в п. 2), показывают тогда, что если - произвольная прямая из , то содержит все прямые, ортогональные к , а это невозможно. Предложение доказано.

Основные результаты

Пусть - конечная группа, и - подгруппы группы . Будем говорить, что группа допускает факторизацию , если для всякого имеет место равенство , где , . Факторизация называется максимальной, если и максимальные подгруппы в группе . Мы рассмотрим максимальные факторизации симплектической группы , определенной над конечным полем .

Характеристики

Список файлов ВКР