85725 (589862), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

• ,

• ,

• ,

• ,

• .

Доказательство. Так как регулярно, то ввиду 12 отображение биективно. Следовательно, , откуда ввиду 17 . Этим доказано (1). Далее, , поэтому сравнение размерностей дает . Этим доказано (2). Докажем теперь (3):

Аналогично доказывается (4). Наконец, утверждение (5) тривиально.

Рассмотрим радикал знакопеременного пространства , и пусть - подпространство пространства , такое, что . Назовем всякое такое разложение радикальным разложением пространства . Очевидно, определяется не единственным образом, за исключением случаев, когда регулярно или вполне вырождено. Из соотношений

следует равенство , поэтому регулярно.

Теорема 20 Если - регулярное знакопеременное пространство размерности , то

В частности, регулярное знакопеременное пространство имеет четную размерность и дискриминант . Кроме того, регулярные знакопеременные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем изометричны.

Доказательство. Ввиду регулярности пространства существуют векторы и , удовлетворяющие условию . Так как , то эти векторы должны быть независимыми; поэтому - плоскость. Очевидно,

В частности, регулярно, так как дискриминант отличен от нуля. Следовательно, ввиду 18 . Но - также регулярное знакопеременное пространство. Первое утверждение следует теперь из соображений индукции. Второе тривиально следует из первого. Для доказательства третьего утверждения применяем 8. Теорема доказана.

База регулярного знакопеременного пространства называется гиперболической, если

и симплектической, если

Если

- гиперболическая база пространства , то перестановка

- симплектическая база, и наоборот. По теореме 20 ненулевое регулярное знакопеременное пространство имеет гиперболическую базу, а потому и симплектическую базу.

Предложение 21 Пусть - регулярное знакопеременное пространство, - вполне вырожденное подпространство и - база подпространства . Тогда существует регулярное подпространство пространства вида , где - регулярные плоскости и , .

Доказательство. Случай очевиден. При применяем индукцию по . Положим и . Тогда , откуда ввиду 19. Выберем и положим . Тогда , , и, следовательно, . Значит, - регулярная плоскость, содержащая . В силу 18 можно записать . Тогда , так как и следовательно, . Остается применить предположение индукции к рассматриваемому как подпространство знакопеременного пространства .

Предложение 22 Если - максимальное вполне вырожденное подпространство регулярного знакопеременного пространства , то .

Доказательство. Так как вполне вырождено, то , поэтому ввиду 19 , откуда . Если допустить, что , то несложное применение утверждений 21 и 18 даст вполне вырожденное подпространство, строго содержащее в противоречие с максимальностью . Поэтому .

Предложение 23 Если и - максимальные вполне вырожденные подпространства регулярного знакопеременного пространства , удовлетворяющие условию , то для каждой базы пространства М существует такая база пространства , что - симплектическая база пространства .

Доказательство. Разумеется, (ввиду 22). Пусть , - база подпространства . Тогда - база пространства . Пусть - сопряженная к ней база относительно (см. 15). Поскольку , то элементы лежат в . Значит, - база пространства , а

- симплектическая база в .

Предложение 24 Пусть - регулярное знакопеременное пространство и

- его симплектическая база. Пусть - максимальное вполне вырожденное пространство . Тогда матричный изоморфизм, ассоциированный с , отображает группу линейных преобразований

на группу матриц вида

где - обратимая -матрица, а -матрица удовлетворяет соотношению .

Доказательство. Это легко проверяется надлежащим применением утверждения 9.

Теорема Теорема Витта 25 Пусть и - изометричные регулярные знакопеременные пространства над одним и тем же полем . Если - произвольное подпространство пространства и - изометрия в , то ее можно продолжить до изометрии пространства на .

Доказательство. Возьмем радикальное разложение , и пусть - база подпространства (имеется в виду, что , если ). Применяя 21 к регулярному знакопеременному пространству , мы видим, что в нем существует подпространство вида

где - регулярные плоскости и , . Так как регулярно, то оно расщепляет ; следовательно, существует регулярное подпространство пространства , такое, что

Положим , и для . Тогда

Кроме того,

- радикальное разложение. Мы можем повторить предыдущие рассуждения и получить разложение

в котором

где - регулярная плоскость и для . С помощью 8 найдем изометрию пространства на , согласованную с на каждом , а следовательно, на . Кроме того, данное отображает на . Значит, существует продолжение изометрии до изометрии пространства на . Далее , так как изометрично , поэтому и, следовательно, по теореме 20 существует изометрия пространства на . Таким образом, существует продолжение изометрии до изометрии пространства на .

Проективные преобразования

Геометрическое преобразование абстрактного векторного пространства на абстрактное векторное пространство - это биекция со следующим свойством: подмножество пространства тогда и только тогда является подпространством в , когда - подпространство в .

Очевидно, что композиция геометрических преобразований - геометрическое преобразование и преобразование, обратное к геометрическому, - также геометрическое. Геометрическое преобразование сохраняет включение, объединение и пересечение подпространств, а также ряды Жордана -- Гёльдера, поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение 26 Если - геометрическое преобразование пространства на , то для любых подпространств , пространства выполняются соотношения

Под проективным пространством пространства мы будем понимать множество всех подпространств пространства . Таким образом, состоит из элементов множества , являющихся подпространствами в ; - это частично упорядоченное множество, отношение порядка в котором индуцируется теоретико-множественным включением в . Любые два элемента и из имеют объединение и пересечение, а именно и , так что - решетка; она имеет наибольший элемент и наименьший элемент . Каждому элементу пространства сопоставляется число . Каждое из обладает рядом Жордана -- Гёльдера , и все такие ряды имеют длину . Положим

и назовем , , множествами прямых, плоскостей и гиперплоскостей пространства соответственно.

Проективность пространства на - это биекция со следующим свойством: для любых , из включение имеет место тогда и только тогда, когда .

Очевидно, что композиция проективностей - проективность и отображение, обратное к проективности, - также проективность. Проективность пространства на сохраняет порядок, объединения, пересечения и ряды Жордана -- Гёльдера для элементов пространств и , поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение 27 Если - проективность пространства на , то для любых элементов , из выполняются соотношения

В частности, отображает на и определяется своими значениями на , т. е. на прямых.

Если - геометрическое преобразование, то отображение , полученное из сужением, является проективностью пространства на . Всякая проективность , имеющая вид для некоторого такого , будет называться проективным геометрическим преобразованием пространства на . Черту мы будем всегда использовать для обозначения проективного геометрического преобразования , полученного описанным способом из геометрического преобразования . Таким образом, переводит подпространство пространства , т.е. точку из , в подпространство пространства . Имеем

В частности, композиция проективных геометрических преобразований и преобразование, обратное к проективному геометрическому, сами являются проективными геометрическими.

Геометрическое преобразование пространства есть по определению геометрическое преобразование пространства на себя. Множество геометрических преобразований пространства является подгруппой группы подстановок множества . Она будет обозначаться через и называться общей геометрической группой пространства . Под группой геометрических преобразований пространства мы будем понимать произвольную подгруппу группы . Общая линейная группа и специальная линейная группа являются, следовательно, группами геометрических преобразований. Под группой линейных преобразований будем понимать любую подгруппу группы .

Характеристики

Список файлов ВКР