Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Проективность пространства есть по определению проективность этого пространства на себя. Множество проективностей пространства - подгруппа группы подстановок множества , которую мы будем называть общей группой проективностей пространства . Применение черты индуцирует гомоморфизм

Иногда мы будем использовать вместо , полагая

для образа подмножества из при . В частности, и - подгруппы группы проективностей пространства , они называются проективной общей линейной группой и проективной специальной линейной группой пространства . Было доказано, что совпадает с группой всех проективностей пространства , поэтому мы используем это обозначение для обеих групп. Под группой проективностей пространства будем понимать любую подгруппу группы , а под проективной группой линейных преобразований пространства - любую подгруппу группы .

Для каждого ненулевого элемента из определим линейное преобразование , полагая

Ясно, что . Преобразование из вида для некоторого будем называть растяжением пространства . Множество растяжений пространства является нормальной подгруппой группы , которая будет обозначаться через . Очевидно, имеет место изоморфизм . Имеют место следующие два предложения.

Предложение 28 Элемент группы тогда и только тогда принадлежит группе , когда для всех прямых из . В частности,

и

Предложение 29 Централизатор в любого элемента из , не являющегося растяжением, абелев.

Пусть теперь - регулярное знакопеременное пространство. Тогда будет, конечно, группой геометрических преобразований пространства . Под группой симплектических преобразований знакопеременного пространства мы будем понимать произвольную подгруппу из . Группа , получаемая из применением гомоморфизма , называется проективной симплектической группой знакопеременного пространства . Под проективной группой симплектических преобразований пространства будем понимать любую подгруппу группы .

Предложение 30 Если - ненулевое регулярное знакопеременное пространство, то

Доказательство является легким упражнением и потому опускается.

Предложение 31 Если - регулярное знакопеременное пространство и , то .

Доказательство. Взяв симплектическую базу пространства , с помощью 9 без труда убеждаемся, что элемент из тогда и только тогда лежит в , когда .

Полярностью абстрактного векторного пространства над полем называется биекция , , такая, что

1) ,

2)

для всех , из . Если - регулярное знакопеременное пространство над , то, очевидно, - полярность; она называется полярностью, определенной знакопеременной формой , имеющейся на .

Предложение 32 Пусть - абстрактное векторное пространство над полем и . Предположим, что - регулярное знакопеременное пространство относительно каждой из двух знакопеременных форм и . Формы и тогда и только тогда определяют одну и ту же полярность, когда найдется такой ненулевой элемент из , что .

Доказательство. Если , то утверждение очевидно. Остается доказать обратное утверждение. Так как регулярно относительно и , то ввиду 12 и 13 ассоциированные линейные отображения и биективны, т. е. и . Из 17 и предположения о том, что и определяют одну и ту же полярность, следует, что для всех подпространств из . Следовательно, - элемент группы , относительно которого инвариантны все подпространства из , В частности, относительно него инвариантны все прямые из . Значит, ввиду 28 . Другими словами, найдется такой ненулевой элемент из , что для всех из . Но тогда для всех из . Поэтому .

Структурные теоремы. Порядки симплектических групп

Предложение 33 Если поле бесконечно, то группы , над также бесконечны.

Доказательство. Число трансвекций из бесконечно.

Теорема 34 Порядок группы равен

Порядок группы равен

Доказательство. Второе утверждение следует из первого, так как группа изоморфна группе . Докажем первое утверждение индукцией по . Если , то и можно считать .

Под парой будем понимать упорядоченную пару векторов , , такую, что . Если фиксирован, то существует единственная пара , где принадлежит данной прямой, не ортогональной к . Поэтому число пар с на первом месте равно числу прямых, не лежащих в , т. е.

Таким образом, имеется пар с на первом месте, а всего пар.

Зафиксируем какую-нибудь пару . По теореме Витта для каждой пары найдется по крайней мере один элемент группы , переводящий в . Следовательно, имеется точно

элементов из , переводящих пару в пару . По предположению индукции это число равно

Далее, каждый элемент группы переводит точно в одну пару. Следовательно, группа содержит

элементов, что и требовалось доказать.

Предложение 35Если , то число максимальных вполне вырожденных подпространств пространства равно

Доказательство. 1) Покажем сначала, что подгруппа группы , оставляющая на месте произвольное максимальное вполне вырожденное подпространство пространства , имеет порядок

Чтобы убедиться в этом, зафиксируем симплектическую базу

пространства , в которой векторы порождают . Из 24 следует, что матрица произвольного преобразования имеет вид

где , а - симметрическая матрица порядка над ; эти и определяются преобразованием однозначно. Кроме того, любые такие и соответствуют некоторому из . Наше утверждение получается теперь, если умножить порядок группы на число симметрических матриц порядка над полем , т. е. .

2) Зафиксируем максимальное вполне вырожденное подпространство пространства . По теореме Витта все максимальные вполне вырожденные подпространства пространства даются формулой , где пробегает группу . Из замечания 1) легко следует, что в этом процессе каждое максимальное вполне вырожденное подпространство повторяется точно

раз, поэтому общее число таких подпространств равно порядку группы , деленному на указанную величину. Очевидно, это и есть требуемое число.

Предложение 36 Если , то число регулярных плоскостей в пространстве равно

Доказательство. Поступая, как при доказательстве утверждения 35, убедимся, что должно содержать

регулярных плоскостей. Это число совпадает с указанным выше (применить теорему 34).

Предложение 37 Группа изоморфна симметрической группе .

Доказательство. Будем называть конфигурацией произвольное подмножество из элементов в -мерном регулярном знакопеременном пространстве над полем , обладающее тем свойством, что любые два его различных элемента не ортогональны. Каждый ненулевой вектор из принадлежит ровно двум конфигурациям и , так что они пересекаются по . Чтобы убедиться в этом, возьмем симплектическую базу пространства , в которой . Ясно, что

и

- две различные конфигурации, пересекающиеся по множеству . Легкая проверка перебором показывает, что других конфигураций, содержащих элемент , нет. Если теперь выписать все различные конфигурации в пространстве , то каждый вектор из появится точно в двух из них, откуда и . Пусть - Множество всех конфигураций в .

Если - произвольный элемент из , то тогда и только тогда является конфигурацией, когда - конфигурация, поэтому индуцирует отображение . Ясно, что это отображение на и, значит, перестановка на . Очевидно, что есть гомоморфное отображение . Чтобы найти его ядро, возьмем в элемент . Пусть таков, что . Пусть и - две конфигурации, содержащие . Тогда не принадлежит одной из них, скажем, . Отсюда и . Другими словами, ядро тривиально, и мы имеем инъективный гомоморфизм . По теореме 34 группа состоит из элементов, поэтому .

Центры

Заметим, что группа неабелева. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять нетривиальные проективные трансвекции из с неортогональными вычетными прямыми. Следовательно, группа также неабелева.

Предложение 38 Группа имеет тривиальный центр, а .

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент из центра группы . Пусть - произвольная прямая из . Пусть - проективная трансвекция из с вычетной прямой . Тогда вычетной прямой преобразования является . Но , так как лежит в центре. Следовательно, для всех . Поэтому и, значит, группа действительно не имеет центра. Второе утверждение следует из первого, если применить гомоморфизм .

Коммутанты

Предложение 39 Если , - произвольные прямые из , то множество трансвекций из с вычетной прямой и множество трансвекций с вычетной прямой сопряжены относительно .

Доказательство. По теореме Витта в группе существует такой элемент , что . Тогда сопряжение элементом отображает множество трансвекций из с вычетной прямой на множество трансвекций из с вычетной прямой .

Пример 40 Две трансвекций из не обязательно сопряжены в . Например, трансвекций с вычетной прямой , сопряженные с , имеют вид , где пробегает .

Замечание 41 Пусть - симплектическая база пространства . Если - произвольная симметрическая матрица порядка 2 над и - линейное преобразование, определенное матрицей

то мы знаем, что принадлежит группе . Если преобразовать в , производя 1) прибавление кратного одного столбца к другому с последующим аналогичным преобразованием соответствующих строк или 2) перестановку двух столбцов с последующей перестановкой соответствующих строк, то линейное преобразование с матрицей

Характеристики

Список файлов ВКР