85725 (589862), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Пусть и - целые числа, , . Если - простое число, делящее и не делящее числа для , то называют примитивным простым делителем числа .

Хорошо известно, что при , и всегда есть примитивный простой делитель числа . Пусть , где - простое число, - целое положительное число. Обозначим наибольший примитивный простой делитель числа (так, что делит и не делит для ). Определим как произведение всех примитивных простых делителей . Мы будем рассматривать максимальные факторизации группы . Отметим, что

Теорема 50Пусть , где - нечетное число. Если , где и - максимальные подгруппы группы , тогда , где - максимальная параболическая подгруппа группы , изоморфная и имеющая порядок

Доказательство. Предположим, что делит . Из 6 следует, что является одной из следующих групп , , или . Пусть сначала . В этом случае . Из 6 следует, что это в точности максимальная параболическая подгруппа группы и . Из сравнения порядков группы и произведения получаем следующую максимальную факторизацию:

Пусть теперь является одной из следующих групп , или . Из сказанного выше следует, что не изоморфна . Из пункта 2.4 7 получим, что есть или . По теореме 2.4D 7 есть 3 или 7. Если , тогда 5 делит . В этом случае из 6 следует, что одна из групп , , . Поскольку , то делит . Однако не делится на . Противоречие с тем, что . Следовательно, и . Так как 27 делит , то является параболической подгруппой группы и имеет место факторизация:

Теорема 50 доказана.

Пусть , где - положительное число. Тогда ортогональная группа и . обозначает сплетение группы с группой , т.е. , где . Очевидно, что ; - максимальная параболическая подгруппа в порядка ; - группа Судзуки порядка , где .

Лемма 51 Пусть . Тогда

Доказательство. Из 8 следует, что является максимальной подгруппой в . Пусть и . Обозначим

где матрица в каноническом базисе симплектического пространства , , , . Тогда - диэдральная группа, которая фиксирует разложение:

Из 8 следует, что стабилизатор этого разложения , и

Лемма доказана.

В приведенных обозначениях с учетом таблицы 1 7 и леммы 51 получим:

Теорема 52 Пусть , где . Если , где и - максимальные подгруппы в группе . Тогда

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Заключение

В дипломной работе найдены максимальные факторизации симплектических групп . Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть , где - нечетное число. Если , где и - максимальные подгруппы группы , тогда

, где - максимальная параболическая подгруппа группы , изоморфная и имеющая порядок

Теорема 2. Пусть , где . Если , где и - максимальные подгруппы в группе . Тогда

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Список использованных источников

11[] Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов, Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины, 2003. - 320 с.

22[] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И., Основы теории групп, М., 1982.

33[] Холл Ф., Теория групп, М., 1962.

44[] Горенстейн Д., Конечные простые группы: введение в их классификацию., М., 1985.

55[] Казарин Л.С., Факторизации конечных групп разрешимыми подгруппами //Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, N 7 -- 8. С. 947 -- 950.

66[] Mitchel H.H., Determination of the finite quaternary linear groups. Trans. Amer. Math. Soc. V. 14, 1913. p.123--142.

77[] Liebek M.W., Praeqer C.E., Saxl J., The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups. Mem. Amer. Math. Soc. V. 86, N. 432. p. 1--151.

88[] Suzuki M., A new type of simple groups of finite order. Proc. Nat. Acad. Sci. US 46, 1960. p. 868--870.

Характеристики

Список файлов ВКР