85696 (589858), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Решение

а) . О.О.У.:

,

Решаем уравнение (1).

1. Пусть : получим уравнение оси абсцисс, исключая начало координат.

2. : , . Это семейство концентрических окружностей с центром в точке радиуса .

б) .

Пусть , тогда . И .

1) Если , то полу чаем семейство из двух прямых с уравнениями и .

2) Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках , и асимптотами и .

3) Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями

, с вершинами в точках , и асимптотами и .

Ответ: а) 1. Если , то – уравнение оси абсцисс, исключая точку .

2. Если , то – семейство концентрических окружностей с центром в точке радиуса .

б) 1. Если , то – семейство из двух прямых с уравнениями и .

2. Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках , и асимптотами и .

3. Если , то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках , и асимптотами и .

Задача 75. При каких значениях n верно равенство .

Решение

Тригонометрическими формами записи комплексных чисел и , являются и .

Возведем в степень n, получим и .

Тогда:

Ответ:

Задача 76. При каком значении d уравнением задана ось ординат в комплексной плоскости, исключая начало координат?

Решение

О.О.У.:

Пусть . Тогда .

.

, .

Если , то получим уравнение .

Ответ: .

Задача 77. Среди всех комплексных чисел z таких, что , где , есть ровно одно число, аргумент которого равен . Найдите это число.

Решение

Запишем искомое число в тригонометрической форме:

. Тогда и .

Перейдем к уравнению , где . Получаем квадратное уравнение , где , .

.

Рассмотрим 2 случая:

1. : ,

. Тогда и .

2. :

.

Введем функцию . Интересует случай, когда один из корней квадратного трехчлена больше 0, а другой – меньше 0 (Рис. 34).

Рис. 34.

Достаточно решить систему неравенств: Эта система несовместна, поэтому такой случай невозможен.

Ответ: .

Задача 78. При каких действительных значениях a среди комплексных чисел таких, что , нет ни одного числа, модуль которого равен 2.

Решение

Комплексное число с модулем запишется так: .

Тогда .

Получим уравнение .

1. Если , то уравнение действительных решений не имеет.

2. Пусть :

Решая систему методом «лепестков» (Рис. 35), видим, что она несовместна.

Рис. 35.

3. : ,

.

Последнее уравнение не имеет корней, если a удовлетворяет системе:

Изобразим графически решение в данных случаях (рис. 36).

Рис. 36.

Ответ: .

Задача 79. Для каждого действительного числа a найдите все комплексные числа , удовлетворяющие равенству: а) ;

б) .

Решение

а) Пусть , тогда из исходного уравнения имеем .

Отсюда получаем систему для нахождения x и y:

из которой следует, что . Подставляя это значение x в первое уравнение, имеем . Корни этого уравнения действительны тогда и только тогда, когда его дискриминант является действительным числом, т. е. . Для этих значений a найдем причем , то . Неравенство выполняется для всех a из промежутка . Таким образом, исходное уравнение при имеет два корня: , при решений не имеется.

б) Перепишем данное уравнение в виде . Так как и a – действительные числа, то отсюда заключаем, что число z является чисто мнимым числом.

Пусть , тогда из исходного уравнения находим, что , т. е. .

Последнее уравнение равносильно совокупности двух систем:

Уравнение имеет два корня: при любом значении a. Неравенству удовлетворяет (при любом значении a) только число .

Уравнение второй системы совокупности имеет действительные решения только при условии , т. е. при . Корнями этого уравнения при каждом являются числа .

Ясно, что при оба корня и меньше нуля, а при – больше нуля.

Таким образом, исходное уравнение:

при имеет один корень ;

при имеет три корня , , .

Ответ: а) при , то ,

б) при , то ;

при , то , , .

Задача 80. Для каких действительных чисел a не существует комплексных чисел z, для которых выполняются равенства , ?

Решение

Заметим, что равняются расстоянию между точками и на комплексной плоскости. При фиксированном a точки , для которых , лежат на окружности с центром в и радиусом 2. (Вообще, множество , для которых , есть окружность с центром в и радиусом ). Аналогично равенство . Две окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами больше суммы или меньше разности радиусов. Таким образом, должно выполняться одно из двух неравенств: или , т.е. или .

Ответ: или .

Задача 81. При каких действительных чисел a любое комплексное число, удовлетворяющее уравнению , удовлетворяет одновременно и неравенству ?

Решение

Пусть . Тогда и получим уравнение

Если , то имеем уравнение окружности с центром в точке и

. От неравенства перейдем к неравенству

Рассмотрим ряд случаев в зависимости от значений a.

1. , т.е. . Неравенство (2) выполняется при любых парах действительных значений x и y, в том числе и при решениях уравнения (1).

2. Пусть :

Система решений не имеет.

1. Если , то получим систему

Неравенству системы удовлетворяют все пары значений x и y ( ), кроме – не является решением уравнения системы.

1. Аналогично убеждаемся, что условию задачи удовлетворяет и .

2. Остается рассмотреть следующее множество значений a: .

В этом случае и неравенство (2) задает множество точек комплексной плоскости, расположенных вне окружности, заданной уравнением . (3) (Рис. 37).

Обозначим радиус этой окружности через r ( ). И достаточно найти такие значения a из рассматриваемого множества, при которых окружность, заданная уравнением (1), расположена вне окружности с уравнением (3).

Рассмотрим прямоугольный треугольник : ; ; ; .

Рис. 37.

Получим неравенство .

, , т.о. .

Учтем множество значений a, на котором мы решаем систему (рис. 38):

Рис. 38.

Таким образом, .

Ответ: .

Задача 82. Найдите все действительные a такие, что система уравнений не имеет решений.

Решение

1. Если , то решений нет.

2. При , .

3. Если :

Каждое из данных уравнений задает на комплексной плоскости окружность. Пусть О1 и О2 – центры этих окружностей, r1 и r2 – соответствующие радиусы.

Если расстояние между их центрами удовлетворяют условиям , то окружности имеют хотя бы одну общую точку. тогда получим систему неравенств

Поэтому при система решений не имеет.

Ответ: .

3. Заключение

В представленной выпускной квалификационной работе получены следующие результаты.

1) Приведено систематическое изложение вопроса решения задач с комплексными числами.

2) Приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, вычисление операций сложения, вычитания, умножения, деления, операции сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также изложено правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

3) Решены задачи, посвященные геометрической интерпретации комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости;

4) Рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

5) Приведены решения некоторых уравнений 3-й и 4-й степеней;

6) Решены некоторые задачи содержащие комплексные числа и параметры.

Материал, изложенный в выпускной квалификационной работе может быть использован в учебном процессе в курсе алгебры в высшем учебном заведении, а также в классах с углубленным изучением математики или на элективных курсах в школе.

4. Список литературы

1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В., Егоров А.А., Земляков А.Н., Моркович А.Г. Избранные вопросы математики. 10 класс. Факультативный курс. – М.: Просвещение, 1980.

2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2000.

3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.Ш. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник 9-10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1975.

4. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975.

5. Беляева Э.С., Потапов А.С. Уравнения и неравенства первой степени с параметром и к ним сводимые. Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2001.

6. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. - М.: Наука, 1971.

7. Вавилов В.В, Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачник по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука, 1987.

8. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998.

9. Галицкий М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1989.

10. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2004.

11. Дадаян А.А., Новик И.А. Алгебра и начала анализа. – М.: Просвещение, 1987.

12. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. Решение задач письменного экзамена. / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, И.И. Кулагина. – М.: Дрофа, 2000.

13. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– М.: Просвещение, 1995.

14. Математика в школе. № 3, 1990.

15. Математика в школе. № 6, 1992.

16. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1966.

17. Петраков И.С. Математические кружки в 8 – 10 классах. – М.: Просвещение, 1988.

18. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987.

19. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989.

20. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989.

21. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – М.: Физматлит, Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

22. Энциклопедический словарь юного математика. (Составитель Савин А.П.). – М.: Педагогика, 1989.

23. Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004.

Характеристики

Список файлов ВКР