85696 (589858), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Рис. 1
Таким образом, z одновременно обозначают и комплексное число, и точку, изображающую это комплексное число.
Комплексное число 
называется комплексной координатой точки (a; b).
Поскольку при указанном соответствии действительные числа 
изображаются точками оси абсцисс, то ось Ox называется действительной осью. Ось Oy, на которой лежат чисто мнимые числа 
, называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Комплексное число может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b) (см. рис. 1). По определению модуля комплексного числа
,
модуль комплексного числа равен длине вектора 
.
Задача 33. Изобразите на комплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:
Решение
Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.
Покажем их.
Рис.2
Задача 34. Найдите комплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны 
и 
соответственно.
Решение
Обозначим середину отрезка AB через O1. Тогда
.
Учитывая, что комплексная координата вектора равна 
, получим 
.
Ответ: 
.
Задача 35. Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
,
е) 
, ж) 
, з) 
, и) 
, к) 
.
Решение
а) . Из равенств 
и 
, получаем: 
.
Множество точек – прямая 
(рис. 3).
y
Рис. 3.
б) . , . Следовательно, 
.
Множество точек – верхняя относительно оси OX полуплоскость, включая прямую 
(рис. 4).
Рис. 4.
в) . Из равенств и 
, получаем: 
.
Множество точек – прямая 
(рис. 5).
Рис. 5.
г) , , и . Следовательно, 
.
Множество точек – левая относительно прямой 
полуплоскость, включая прямую (рис. 6).
Рис. 6.
д) . 
, поэтому 
.
Множество точек – прямая . (рис. 7).
Рис. 7.
е) Если , то условия 
и 
означают, что 
и 
. Множество точек – часть плоскости, ограниченная снизу прямой 
, справа 
, исключая указанные прямые (рис. 8).
Рис. 8.
ж) Если , то 
, и условие означает, что 
, т.е. 
. Множество точек – прямая (рис. 9).
Рис. 9.
з) Если , то при условие, что сумма 
отлична от нуля, имеем 
, поэтому 
. Следовательно, 
, откуда получаем уравнение:
, или 
.
Преобразуем его
.
Таким образом, множество точек – это окружность с центром в точке O
радиуса 
, у которой «выколота» точка 
(рис. 10).
Рис. 10.
и) 
; по условию , следовательно, 
.
Множество точек – окружность с центром в начале координат радиуса 1.
к) По условию , поэтому 
, т.е. 
, 
, 
, 
. Последнее условие означает, что либо , либо 
. В первом случаи получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку . Учитывая, что , т.е. что действительная часть комплексного числа 
неотрицательна.
Приходим к выводу: искомое множество точек – положительная полуось Ox с началом в точке .
Задача 36. Изобразите на плоскости XOY множество, всех точек 
, удовлетворяющих условию:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
Решение
а) . Для каждого число 
равно расстоянию между точкой и точкой 
. Поэтому заданному условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат на окружности радиуса 1 с центром в точке 
(рис. 11).
Рис. 11.
б) . Для каждого число 
равно расстоянию между точкой и началом координат. Поэтому условию удовлетворяют те и только те точки, которые лежат внутри кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами 
и 
соответственно (рис. 12).
Рис. 12.
в) . Из определения главного аргумента комплексного числа следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz (рис 13), образующем угол 
с положительным направлением оси Ох.
Рис. 13.
г) . Пусть . Тогда данное соотношение перепишется в виде 
или 
.
Отсюда находим: 
, т.е. 
.
Таким образом, 
, и, следовательно, исходному соотношению удовлетворяют только те комплексные числа, для которых . Такие точки заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 14). Этот ответ можно получить из геометрических соображений, учитывая, что ось OX есть перпендикуляр к отрезку, соединяющий точки 
и , восстановленный из его середины.
Рис. 14.
д) Искомое множество точек есть пересечение кольца, ограниченного окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке 
, и второго квадранта (рис. 15).
Рис. 15.
Задача 37. Докажите, что расстояние между точками и 
равно 
.
Решение
Так как 
, а это и
есть, как известно из геометрии, формула расстояния между двумя точками 
и 
.
Задача 38. Докажите, что если точка не совпадает с точкой , то равенство 
задает уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину.
Решение
Все точки , удовлетворяющие равенству , равноудалены от точек и и поэтому, как это известно из геометрии, лежат на прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину. Обратно, все точки этой прямой, очевидно, удовлетворяют равенству , следовательно, это равенство является уравнением указанной выше прямой.
Задача 39. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам , для которых 
.
Решение
Представим выражение 
в виде разности двух комплексных чисел: 
. Тогда становится ясно, что равенство 
является уравнением окружности с центром в точке 
и радиусом 2.
Неравенству удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности 
, тогда неравенству 
соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.
Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям: , поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 16).
Рис. 16.
Задача 40. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию: 
.
Решение
Равенство 
является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A (0;0) и B (0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств 
, 
, следует равенство 
, а значит, 
, т.е. 
.
Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 17).
Рис. 17.
Задача 41. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: 
.
Решение
. Следовательно, 
. Таким образом, 
, 
, то
, 
, 
.
Этим числам соответствуют три точки: A (
), B (
) и C (
). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 18).
Рис. 18.
Задача 42. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: 
.
Решение
, значит, 
и 
.
Получили две точки: B (
) и C ( ) (рис. 19).
Рис. 19.
Задача 43. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 
.
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий: 
и 
. Если , где x и y – действительные числа, то получаем следующие неравенства: 
, 
, 
, 
, 
. Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 20).
Рис. 20.
Задача 44. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 
.
Решение
Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:
и 
. Если положить , то получаем следующие неравенства:
.
Преобразуем его
,
, 
,
Получаем 
.
Искомая область – круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1) (рис. 21).
Рис. 21.
Задача 45. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 
.
Решение
Положим .
Тогда 
, 
.
Неравенство 
при 
равносильно неравенству 
или 
. Последнее неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 22).
Рис. 22
Задача 46. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: 
.
Решение
Представим число как 
. Тогда
;
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
