85696 (589858), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Задача 2. Найдите x и y, для которых 
.
Решение
Получим и решим систему двух уравнений:
Ответ: 
.
Задача 3. Решите уравнение 
относительно действительных переменных x и y.
Решение
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду 
, получаем уравнение равносильное данному: 
. Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Ответ: 
.
Задача 4. При каких действительных значениях x и y комплексные числа 
и 
будут противоположными?
Решение
Комплексные числа 
и 
будут противоположными, если выполняются условия:
Ответ: 
; 
.
Задача 5. При каких действительных значениях x и y комплексные числа 
и 
будут равными?
Решение
Комплексные числа 
и 
будут равными, если выполняются условия:
Ответ: 
; 
.
Задача 6. Решите уравнение 
относительно действительных переменных x и y.
Решение
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: 
. Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Ответ: 
.
Задача 7. Решите во множестве комплексных чисел уравнение 
.
Решение
Так как 
, тогда корни находятся по формуле
(
).
Отсюда, 
, 
.
Ответ: 
.
Задача 8. Решите уравнение 
.
Решение
Перепишем уравнение в виде 
.
Полагая 
, получим уравнение 
, которое имеет корень 
. Поэтому левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения двучлена 
и квадратного трехчлена.
Для нахождения коэффициентов квадратного трехчлена применим схему Горнера:
| 1 | 1 | 2 | – 4 | |
| 1 | 1 | 2 | 4 | 0 |
Итак, получаем уравнение 
.
Квадратный трехчлен 
имеет корни 
и 
.
Следовательно, исходное уравнение имеет корни: 
, 
, 
.
Ответ: 
; .
Задача 9. Решите уравнение 
.
Решение
Корни данного уравнения находятся по формулам
, 
,
где 
и 
– числа, удовлетворяющие условию 
. Отсюда 
. Пусть 
, тогда 
, т. е. 
. Два комплексных числа равны, следовательно, равны их действительные и мнимые части:
Находим два решения этой системы: 
, 
. Таким образом,
решениями исходного уравнения являются числа 
, и
, т. е. 
, 
.
Ответ: 
; 
.
Задача 10. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:
а) 
; б) 
; в) 
.
Решение
а) 
б) 
в)
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
.
Задача 11. Произведите следующие действия над комплексными числами:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Решение
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Задача 12. Запишите комплексное число 
в виде .
Решение
Имеем
Ответ: 
.
Задача 13. Найдите значение функции 
при 
.
Решение
Подставим значение x в функцию:
.
Вычислим второе слагаемое:
.
Вычислим первое слагаемое:
.
Таким образом, 
.
Ответ: 
.
Задача 14. Вычислите 
; 
; 
; 
.
Решение
С помощью формулы: 
Легко получаем:
;
;
;
.
Ответ: 
; 
; 
; 
.
Задача 15. Выполните указанные действия: 
.
Решение
Вычислим значение дроби 
.
Следовательно, 
Ответ: 
.
Задача 16. Решите уравнение 
.
Решение
По формуле 
, находим:
.
Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: 
и 
. Найдем сумму и произведение этих корней: 
, 
. Число 4 – это второй коэффициент уравнения , взятый с противоположным знаком, а число 13 – свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если 
и 
– корни уравнения 
, где 
, 
.
Ответ: 
.
Задача 17. Составьте приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющий корень 
.
Решение
Второй корень уравнения является числом, сопряженным с данным корнем , то есть 
. По теореме Виета находим
; 
,
где число 2 – это второй коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 5 – свободный член. Таким образом, получаем уравнение
.
Ответ: .
Задача 18. Даны числа 
; 
. Найдите:
а)
; б) 
.
Решение
а) 
, тогда
б) 
, тогда
Ответ: а) 
; б) 
.
Задача 19. Зная, что корнем уравнения 
является число 
, найдите все корни данного уравнения.
Решение
Поскольку все коэффициенты данного уравнения – действительные числа, то на основании теоремы о сопряженном корне, делаем вывод, что число 
также является корнем данного уравнения.
Пусть 
– неизвестный корень уравнения , тогда 
, где
, получаем 
.
Разделим обе части последнего равенства на 
, получим 
.
Следовательно, 
.
Ответ: 
; 
.
Задача 20. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.
Решение
Пусть 
– искомое комплексное число, где x и y – действительные числа. Тогда число 
, сопряженное числу 
, равно 
.
По условию задачи имеем: 
, т.е. 
.
Преобразовав это уравнение, получим: 
.
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системе уравнений с действительными переменными x и y:
Возможны два случая:
1) 
. Тогда система равносильна системе: , которая
имеет следующие решения: 
; 
.
2) 
. Тогда система равносильна системе 
, которая имеет два решения: 
и 
.
Итак, искомых чисел четыре: 
; 
; 
, из них два числа и 
– действительные, а два других и – комплексно сопряженные.
Ответ: 
; 
; .
Задача 21. Известно, что 
, 
. Найдите:
а) 
; б) 
.
Решение
а) 
,
б) 
.
Ответ: а) 
; б) 
.
Задача 22. При каких действительных значениях x и y комплексные числа 
и 
будут сопряженными?
Решение
Комплексные числа 
и 
будут ком-
плексно сопряженными, если выполняются условия:
Ответ: ; 
.
Задача 23. Докажите тождество 
.
Решение
Пусть 
, 
, 
. Тогда 
, 
,
, 
,
,
.
Отсюда легко следует доказываемое тождество.
Задача 24. Докажите, что если число 
является чисто мнимым, то 
.
Решение
По условию 
, где b – действительное число, тогда 
, 
, 
.
Тождество доказано.
Задача 25. Пусть 
. Докажите, что 
.
Решение
Поскольку 
, то
Тождество доказано.
Задача 26. Решите уравнение 
.
Решение
Пусть 
. Тогда данное уравнение запишется в виде 
, откуда 
. Комплексное число равно нулю, тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю; поэтому для нахождения неизвестных x и y получим систему:
Из второго уравнения этой системы находим: x=0 и y=0. При x=0 первое уравнение системы запишется в виде 
или 
. Отсюда находим 
или 
. Таким образом, числа 
, 
, 
являются решениями данного уравнения.
При y=0 для нахождения x получаем уравнение 
. Отсюда следует, что x=0, и тем самым 
.
Ответ: ; ; .
Задача 27. Решить систему уравнений:
Решение
Полагая , имеем
следовательно, 
и 
.
После преобразований данная система принимает вид
Решение полученной системы является пары 
и 
. Таким образом, исходная система имеет два решения 
и 
.
Ответ: 
; 
.
Задача 28. Докажите, что если 
, то 
.
Решение
Предположим, что существует такое комплексное число 
, 
, для которого выполнено неравенство 
. Тогда 
, или 
.
Поскольку
то 
и 
– действительные числа. Поэтому из последнего неравенства получим неравенство: 
.
Следовательно, 
.
Полученное противоречие доказывает утверждение.
Задача 29. Решите уравнение 
.
Решение
По формулам корней квадратного уравнения имеем: 
.
Извлекая корень квадратный из числа , получаем 
.
Следовательно, 
;
.
Ответ: 
; 
.
Задача 30. Извлеките квадратный корень из комплексного числа 
.
Решение
Пусть 
, где 
.
По формуле 
Таким образом 
.
Ответ: 
.
Задача 31. Решите уравнение: 
.
Решение
Имеем 
, 
, 
.
Получаем 
Извлечем квадратный корень из комплексного числа 
по формулам:
; 
; 
Так как 
, 
Тогда 
Итак, 
, тогда 
Где 
и 
Можно сделать проверку по теореме Виета:
и 
.
Ответ: 
; 
.
Задача 32.
Пусть 
, 
. При каких действительных значениях a и b выполняется условие 
?
Решение
Находим
.
Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему
Ответ: 
.
2. 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Введем на плоскости прямоугольную систему координат xOy и поставим в соответствии каждому комплексному числу 
точку плоскости с координатами (a; b). Полученное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует единственное комплексное число (см. рис. 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
