Теория универа (555138), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:f ( x, y ) =∂ 2 F ( x, y ).∂x∂y(8.2)Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношениявероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δх и Δу кплощади этого прямоугольника при ∆х → 0, ∆у → 0.Свойства двумерной плотности вероятности.1) f(x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоугольник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно,предел их отношения неотрицателен).y x2) F ( x, y ) =∫ ∫ f ( x, y )dxdy (cледует из определения двумерной плотности вероятно-− ∞− ∞сти).+∞+∞3)∫ ∫ f ( x, y )dxdy = 1 (поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-− ∞− ∞кость Оху, то есть достоверного события).Вероятность попадания случайной точки в произвольную область.Пусть в плоскости Оху задана произвольная область D.
Найдем вероятность того, что точка,координаты которой представляют собой систему двух случайных величин (двумернуюслучайную величину) с плотностью распределения f(x, y), попадет в область D. Разобьем этуобласть прямыми, параллельными осям координат, на прямоугольники со сторонами Δх и Δу.Вероятность попадания в каждый такой прямоугольник равна f (ξ i ,η i )∆x∆y , где (ξ i ,η i ) координаты точки, принадлежащей прямоугольнику. Тогда вероятность попадания точки вобласть D есть предел интегральной суммыn∑i =1f (ξ i ,η i )∆x∆y , то естьp (( X , Y ) ⊂ D ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy.D31PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com(8.3)Отыскание плотностей вероятности составляющихдвумерной случайной величины.Выше было сказано, как найти функцию распределения каждой составляющей, зная двумернуюфункцию распределения. Тогда по определению плотности распределенияx∞d ∫ ∫ f ( x, y ) ∞dF ( x) dF ( x, ∞) = f ( x, y )dy.== −∞−∞f1 ( x) = 1∫dxdxdx−∞Аналогично находитсяf 2 ( y) =(8.4)∞∫ f ( x, y)dx.(8.4 ′)−∞Условные законы распределения составляющихдискретной двумерной случайной величины.Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину и найдем закон распределениясоставляющей Х при условии, что Y примет определенное значение (например, Y = у1).
Дляэтого воспользуемся формулой Байеса, считая гипотезами события Х = х1, Х = х2,…, Х = хп, асобытием А – событие Y = у1. При такой постановке задачи нам требуется найти условныевероятности гипотез при условии, что А произошло. Следовательно,р ( xi / y1 ) =p ( xi , y1 ).p ( y1 )Таким же образом можно найти вероятности возможных значений Х при условии, что Yпринимает любое другое свое возможное значение:р ( xi / y j ) =p ( xi , y j )p( y j ).(8.5)Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:p ( y j / xi ) =p ( xi , y j )p ( xi ).(8.5‘)Пример. Найдем закон распределения Х при условии Y = -0,8 и закон распределения Y приусловии Х = 3 для случайной величины, рассмотренной в примере 1.р ( x1 / y1 ) =0,1 10,3 30,1 1= = 0,2; р ( x 2 / y1 ) == = 0,6; р ( x3 / y1 ) == = 0,2.0,5 50,5 50,5 5р ( у1 / х 2 ) =0,36= ;0,55 11р( у 2 / х 2 ) =0,25 5= .0,55 11Условные законы распределения составляющихдискретной двумерной случайной величины.32PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comОпределение 8.3.
Условной плотностью φ(х/у) распределения составляющих Х при данномзначении Y = у называетсяϕ ( х / у) =f ( x, y )=f 2 ( y)f ( x, y )∞.(8.6)∫ f ( x, y )dx−∞Аналогично определяется условная плотность вероятности Y при Х = х:ψ ( у / х) =f ( x, y )=f1 ( х)f ( x, y )∞.(8.6‘)∫ f ( x, y )dу−∞Равномерное распределение на плоскости.Система двух случайных величин называется равномерно распределенной на плоскости,если ее плотность вероятности f(x, y) = const внутри некоторой области и равна 0 вне ее. Пустьданная область – прямоугольник вида a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d .
Тогда из свойств f(x, y) следует, что1 1 S = (b − a )(d − c) внутри прямоугольника,f ( x, y ) = np0 вне его.Найдем двумерную функцию распределения:1( x − a )( y − c)dxdy =при a < x < b, c < y < d, F(x, y) = 0 при x ≤ a или∫∫(b − a )(d − c) c a(b − a )(d − c)y ≤ c, F(x, y) = 1 при x ≥ b, y ≥ d.y xF ( x, y ) =Функции распределения составляющих, вычисленные по формулам, приведенным в свойстве 4x−ay−cфункции распределения, имеют вид: F1 ( x) =, F2 ( y ) =.b−ad −c33PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 9.Некоторые числовые характеристики одномерных случайных величин: начальные ицентральные моменты, мода, медиана, квантиль, коэффициенты асимметрии и эксцесса.Числовые характеристики двумерных случайных величин: начальные и центральныемоменты.
Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Коррелированность изависимость случайных величин.Определение 9.1. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Xk:νk = M (Xk).(9.1)В частности, ν1 = М(Х), ν2 = М(Х2). Следовательно, дисперсия D(X) = ν2 – ν1².Определение 9.2. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х – М(Х))k:μk = M((Х – М(Х))k).(9.2)В частности, μ1 = M(Х – М(Х)) = 0, μ2 = M((Х – М(Х))2) = D(X).Можно получить соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:µ 2 = ν 2 − ν 12 , µ 3 = ν 3 − 3ν 2ν 1 + 2ν 12 , µ 4 = ν 4 − 4ν 3ν 1 + 6ν 2ν 12 − 3ν 14 .Мода и медиана.Такая характеристика случайной величины, как математическое ожидание, называется иногдахарактеристикой положения, так как она дает представление о положении случайной величиины на числовой оси. Другими характеристиками положения являются мода и медиана.Определение 9.3.
Модой М дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятноезначение, модой М непрерывной случайной величины – значение, в котором плотностьвероятности максимальна.Пример 1.Если ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:Х1р0,120,7340,150,05то М = 2.Пример 2.Для непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения f ( x) =модой является абсцисса точки максимума: М = 0.34PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com1,π (1 + x 2 )Замечание 1.
Если кривая распределения имеет больше одного максимума, распределениеназывается полимодальным, если эта кривая не имеет максимума, но имеет минимум – антимодальным.Замечание 2. В общем случае мода и математическое ожидание не совпадают. Но, если распределение является симметричным и модальным (то есть кривая распределения симметрична относительно прямой х = М) и имеет математическое ожидание, оно совпадает с модой.Определение 9.4. Медианой Ме непрерывной случайной величины называют такое ее значение,для которогоp( X < Me ) = p( X > Me ).(9.3)Графически прямая х = Ме делит площадь фигуры, ограниченной кривой распределения, на дверавные части.Замечание.
Для симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.Определение 9.5. Для случайной величины Х с функцией распределения F(X) квантильюпорядка р (0 < p < 1) называется число Кр такое, что F(Kp) ≤ p, F(Kp + 0) ≥ p. В частности, еслиF(X) строго монотонна, Кр: F(Kp) = p.Асимметрия и эксцесс.Если распределение не является симметричным, можно оценить асимметрию кривой распределения с помощью центрального момента 3-го порядка. Действительно, для симметричногораспределения все нечетные центральные моменты равны 0 ( как интегралы от нечетных функций в симметричных пределах), поэтому выбран нечетный момент наименьшего порядка, нетождественно равный 0. Чтобы получить безразмерную характеристику, его делят на σ3 (таккак μ3 имеет размерность куба случайной величины).Определение 9.6. Коэффициентом асимметрии случайной величины называетсяSk =µ3.σ3(9.4)Рис.1.Рис.2.В частности, для кривой, изображенной на рис.1, Sk > 0, а на рис.2 - Sk < 0.Для оценки поведения кривой распределения вблизи точки максимума (для определения того,насколько «крутой» будет его вершина) применяется центральный момент 4-го порядка.35PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comОпределение 9.7.
Эксцессом случайной величины называется величинаЕх =µ4− 3.σ4(9.5)µ4= 3 , и, соответственно,σ4Ех = 0. Для кривых с более острой вершиной Ех >0, в случае более плоской вершины Ех < 0.Замечание. Можно показать, что для нормального распределенияЧисловые характеристики двумерных случайных величин.Такие характеристики, как начальные и центральные моменты, можно ввести и для системыдвух случайных величин.Определение 9.8.
Начальным моментом порядка k, s двумерной случайной величины (Х, Y)называется математическое ожидание произведения Xk на Ys:αk,s = M (XkYs).(9.6)Для дискретных случайных величин α k , s = ∑∑ xik y sj pij ,ij∞ ∞∫ ∫xдля непрерывных случайных величин α k , s =ky s f ( x, y )dxdy.− ∞− ∞Определение 9.9. Центральным моментом порядка k, s двумерной случайной величины (Х, Y)называется математическое ожидание произведения (X – M(X))k на (Y – M(Y))s:μk,s = M((X – M(X))k(Y – M(Y))s).(9.7)Для дискретных случайных величин µ k , s = ∑∑ ( xi − M ( X )) k ( y j − M (Y )) s p ij ,ij∞ ∞∫ ∫ ( x − M ( X ))для непрерывных случайных величин µ k , s =k( y − M (Y )) s f ( x, y )dxdy.− ∞− ∞При этом М(Х) = α1,0, M(Y) = α0,1, D(X) = μ2,0, D(Y) = μ0,2.Корреляционный момент и коэффициент корреляции.Определение 9.10.
Корреляционным моментом системы двух случайных величин называетсявторой смешанный центральный момент:Kxy = μ1,1 = M((X – M(X))(Y – M(Y))).Для дискретных случайных величин К ху = ∑∑ ( xi − M ( X ))( y j − M (Y )) pij ,iнепрерывных случайных величин К ху =(9.8)дляj∞ ∞∫ ∫ ( x − M ( X ))( y − M (Y )) f ( x, y)dxdy.− ∞− ∞Безразмерной характеристикой коррелированности двух случайных величин является коэффициент корреляции36PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comrxy =K xyσ xσ y.(9.9)Корреляционный момент описывает связь между составляющими двумерной случайной величины.
Действительно, убедимся, что для независимых Х и Y Kxy = 0. В этом случае f(x,y) ==f1(x)f2(y), тогдаK xy =∞∞−∞−∞∫ ( x − M ( X )) f1 ( x)dx ∫ ( y − M (Y )) f 2 ( y)dy = µ1 ( x)µ 2 ( y) = 0.Итак, две независимые случайные величины являются и некоррелированными. Однако понятиякоррелированности и зависимости не эквивалентны, а именно, величины могут быть зависимыми, но при этом некоррелированными. Дело в том, что коэффициент корреляции характеризуетне всякую зависимость, а только линейную. В частности, если Y = aX + b, то rxy = ±1.Найдем возможные значения коэффициента корреляции.Теорема 9.1. | rxy |≤ 1.Доказательство. Докажем сначала, что | K xy |≤ σ xσ y .
Действительно, если рассмотреть случайную величину Z 1 = σ y X − σ x Y и найти ее дисперсию, то получим: D ( Z1 ) = 2σ x2σ y2 − 2σ xσ y K xy .Так как дисперсия всегда неотрицательна, то 2σ x2σ y2 − 2σ xσ y K xy ≥ 0, откуда | K xy |≤ σ xσ y .ОтсюдаK xyσ xσ y= rxy ≤ 0, что и требовалось доказать.37PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 10.Функции от случайных величин. Функция одного случайного аргумента, ее распределение иматематическое ожидание. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммынезависимых слагаемых.
Устойчивость нормального распределения.В предыдущих лекциях рассматривались некоторые законы распределения случайных величин.При решении задач часто удобно бывает представить исследуемую случайную величину какфункцию других случайных величин с известными законами распределения, что помогает установить и закон распределения заданной случайной величины.Определение 10.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
