Теория универа (555138), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В большинстве реальныхзадач эта схема неприменима. В таких ситуациях требуется определять вероятность события иным образом. Для этого введем вначале понятие относительной частоты W(A)события A как отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общемуколичеству проведенных испытаний:MW ( A) =,(1.2)Nгде N – общее число опытов, М – число появлений события А.Большое количество экспериментов показало, что если опыты проводятся в одинаковыхусловиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало,колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностьюрассматриваемого события.Определение 1.9. Статистической вероятностью события считают его относительнуючастоту или число, близкое к ней.Замечание 1.
Из формулы (1.2) следует, что свойства вероятности, доказанные для ееклассического определения, справедливы и для статистического определения вероятности.Замечание 2. Для существования статистической вероятности события А требуется:5PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com1) возможность производить неограниченное число испытаний;2) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточнобольшого числа опытов.Замечание 3. Недостатком статистического определения является неоднозначностьстатистической вероятности.Пример. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка(скажем, р = 0,7), то эта величина получена в результате изучения статистики большогоколичества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень около семидесятираз из каждой сотни выстрелов.Основные формулы комбинаторики.При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулыкомбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить поопределенным правилам из элементов некоторого конечного множества.
Определимосновные такие комбинации.Определение 1.10. Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементовданного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всехвозможных перестановокРп = п!(1.3)Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можносоставить из 7 различных фамилий?Решение. Р7 = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.Определение 1.11. Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего празличных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Числовсех возможных размещенийАпт = п( п − 1)( п − 2)...( п − т + 1).(1.4)Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе,третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?Решение.
А103 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720.Определение 1.12. Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества,содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составомэлементов). Число сочетанийп!С пт =.(1.5)т!(п − т)!Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финалвыходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов,следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:10! 8 ⋅ 9 ⋅ 10С103 === 120.3!⋅7!66PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 2.Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей. Противоположныесобытия.
Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимыесобытия. Вероятность появления хотя бы одного события.Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что ононеприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можновоспользоваться понятием геометрической вероятности.Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадетна отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка.
Приэтом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположенияэтой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:lp= ,(2.1)Lгде l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область Sи вероятности того, что она попадет на часть этой области s:sp= ,(2.1‘)Sгде s – площадь части области, а S – площадь всей области.В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная втеле V, попадет в его часть v, задается формулой:vp= ,(2.1‘‘)Vгде v – объем части тела, а V – объем всего тела.Пример 1.
Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет вправильный шестиугольник, вписанный в него.Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При3 3 2этом площадь круга S = πR 2 , а площадь шестиугольника s =R . Следовательно,23 3 2πR 2 −RS−sπ −3 32p===≈ 0,174.2S2ππRПример 2. На отрезок АВ случайным образом брошены три точки: С, D и М. Найтивероятность того, что из отрезков АС, АD и АМ можно построить треугольник.Решение. Обозначим длины отрезков АС, АD и АМ через x, y и z и рассмотрим в качествевозможных исходов множество точек трехмерного пространства с координатами (х, у, z).Если принять длину отрезка равной 1, то эти множество возможных исходов представляетсобой куб с ребром, равным 1.
Тогда множество благоприятных исходов состоит из точек,для координат которых выполнены неравенства треугольника: x + y > z, x + z > y,y + z > x. Это часть куба, отрезанная от него плоскостями x + y = z, x + z = y, y + z = xхРис.1.7PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com(одна из них, плоскость x + y = z, проведена на рис.1).
Каждая такая плоскость отделяет от1 11куба пирамиду, объем которой равен ⋅ ⋅ 1 = . Следовательно, объем оставшейся части3 261 1v 11v = 1 − 3 ⋅ = . Тогда p = = : 1 = .6 2V 22Теорема сложения вероятностей.Теорема 2.1 (теорема сложения). Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равнаР (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).(2.2)Доказательство.Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходовопыта, тА – число исходов, благоприятных событию А, тВ – число исходов, благоприятных событию В, а тАВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (тоесть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеетместо событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды:как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В).
Следовательно, вероятностьсуммы можно определить по формуле (1.1):т + т В − т АВ т А т В т АВр( А + В) = А=+−= р ( А) + р ( В) − р ( АВ ),ппппчто и требовалось доказать.Следствие 1. Теорему 2.1 можно распространить на случай суммы любого числа событий.Например, для суммы трех событий А, В и СР(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)(2.3)и т.д.Следствие 2. Если события А и В несовместны, то тАВ = 0, и, следовательно, вероятностьсуммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:Р(А + В) = р(А) + р(В).(2.4)Определение 2.1.
Противоположными событиями называют два несовместных события,образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначатьА.Замечание. Таким образом, А заключается в том, что событие А не произошло.Теорема 2.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:р(А) + р( А ) = 1.(2.5)Доказательство.Так как А и А образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет врезультате опыта, то есть событие А + А является достоверным.
Следовательно,Р( А + А ) = 1. Но, так как А и А несовместны, из (2.4) следует, что Р(А + А ) = р(А) + р( А ).Значит, р(А) + р( А ) = 1, что и требовалось доказать.Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятностьсобытия, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5).Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.8PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comРешение.
Событие А , противоположное заданному, заключается в том, что из урнывынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет можетбыть только черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле (1.5):8!6 ⋅7 ⋅8= 56,п = С85 ==5!⋅3!6а множество исходов, благоприятных событию А - это число возможных наборов по 5шаров только из шести черных:т А = С 65 = 6.Тогда р ( А ) =633 25, а р ( А) = 1 −== .56 2828 28Теорема умножения вероятностей.Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р(В/А) события В вероятностьсобытия В при условии, что событие А произошло.Замечание.
Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когдаосуществление события А изменяет вероятность события В.Примеры:1) пусть событие А – извлечение из колоды в 32 карты туза, а событие В – то, что ивторая вынутая из колоды карта окажется тузом. Тогда, если после первого разакарта была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется:4 1р ( В) = р ( А) == = 0,125. Если же первая карта в колоду не возвращается, то32 8осуществление события А приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, из3которых только 3 туза.
Поэтому р ( В / А) =≈ 0,097.312) если событие А – попадание в самолет противника при первом выстреле из орудия,а В – при втором, то первое попадание уменьшает маневренность самолета,поэтому р(В/А) увеличится по сравнению с р(А).Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равнапроизведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии,что первое событие произошло:р (АВ) = р (А) · р (В/А).(2.6)Доказательство.Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множествомвозможных исходов нужно считать тА (так как А произошло), а множествомблагоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В ( тАВ ). Следовательно,р ( В / А) =т АВ т АВ п=⋅= р ( АВ ) : р ( А), откуда следует утверждение теоремы.тАп тАПример.
Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первогопопадания равна 0,2, затем она не меняется при промахах, но после первого попаданияувеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумявыстрелами.Решение. Пусть событие А – попадание при первом выстреле, а событие В – попаданиепри втором. Тогда р (А) = 0,2, р (В/А) = 0,4, р (АВ) = 0,2·0,4 = 0,08.9PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comСледствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего ссобытием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
